Les racines de $P^{\prime }$ s'intercalent entre celles de $P$

Stratégie : faire travailler l'analyse pour le compte de l'algèbre. On cherche les racines d'un polynôme, $P^{\prime }$ ; l'outil qui les fabrique n'est pas algébrique mais analytique : le théorème de Rolle. Puis un argument de degré montre qu'il n'y en a pas d'autres.

1) Rolle fournit $n-1$ racines. Fixons $i$ entre $1$ et $n-1$. La fonction polynomiale associée à $P$ est continue sur le segment $\left[a_i,a_{i+1}\right]$, dérivable sur l'intervalle ouvert, et prend la même valeur — zéro — aux deux extrémités, puisque $a_i$ et $a_{i+1}$ sont racines de $P$. Le théorème de Rolle du chapitre 6 donne donc un réel $c_i$ strictement compris entre $a_i$ et $a_{i+1}$ tel que

$$P^{\prime }(c_i)=0.$$

Les racines $a_1<a_2<\cdots <a_n$ étant rangées en ordre strict, les $n-1$ intervalles ouverts $\left]a_i,a_{i+1}\right[$ sont deux à deux disjoints : les $c_i$ sont donc deux à deux distincts. On tient $n-1$ racines réelles distinctes de $P^{\prime }$.

2) Le degré interdit d'en avoir davantage. Le polynôme $P$ est de degré $n$, donc $P^{\prime }$ est de degré $n-1$ — et il n'est pas nul, puisque $n\ge 2$. Un polynôme non nul de degré $n-1$ a au plus $n-1$ racines comptées avec multiplicité. Or on vient d'en exhiber $n-1$, distinctes : la liste est complète, il n'y en a pas d'autres, et chacune est simple — une racine double consommerait deux places et ferait dépasser le compte.

$$\boxed{P^{\prime }=n\lambda \prod _{i=1}^{n-1}\left(X-c_i\right),a_i<c_i<a_{i+1}.}$$

Le coefficient dominant de $P^{\prime }$ est $n\lambda$, ce qui achève d'écrire la factorisation : $P^{\prime }$ est scindé sur $\mathbb{R}$, à racines simples, une par intervalle.

⚠️ L'argument de degré n'est pas un ornement, il porte la moitié du résultat. Rolle donne l'existence d'au moins une racine par intervalle ; c'est le degré, et lui seul, qui donne l'unicité dans chaque intervalle et la simplicité de chacune. Sans lui, rien n'interdirait à $P^{\prime }$ d'avoir trois racines entre $a_1$ et $a_2$.

Contrôle numérique. Prenons $P=X(X-1)(X-2)=X^3-3X^2+2X$, de racines simples $0<1<2$. Sa dérivée $P^{\prime }=3X^2-6X+2$ a pour racines $1\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, soit environ $0,4226$ et $1,5774$ : une dans $\left]0,1\right[$, une dans $\left]1,2\right[$, toutes deux simples. ✔ Et l'on vérifie le coefficient dominant : $n\lambda =3\times 1=3$. ✔

Ce que l'exercice installe. Les racines de $P^{\prime }$ s'intercalent entre celles de $P$ : c'est la propriété d'entrelacement, et c'est le premier théorème de localisation de racines — on ne les calcule pas, on dit où elles sont. Le procédé, Rolle pour l'existence et le degré pour le compte, resservira chaque fois qu'une équation polynomiale se refusera au calcul exact.