Somme et produit des racines $n$-ièmes de l'unité

Stratégie : lire la somme et le produit sur les coefficients, pas sur les racines. Additionner ou multiplier $n$ nombres complexes écrits sous forme exponentielle serait pénible ; les relations entre coefficients et racines donnent les deux résultats en une ligne chacune.

1) La factorisation. Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les ${\omega }_k=e^{2ik\pi /n}$, pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ ; elles sont deux à deux distinctes, donc simples, et le polynôme $X^n-1$, de degré $n$, est scindé sur $\mathbb{C}$ :

$$X^n-1=\prod _{k=0}^{n-1}\left(X-{\omega }_k\right).$$

2) Ce que valent les coefficients. Le polynôme est unitaire, son terme constant vaut $-1$, et — c'est le point — son coefficient en $X^{n-1}$ est nul, puisque $n\ge 2$ : entre $X^n$ et le terme constant, il n'y a rien.

3) La somme. Elle vaut l'opposé du coefficient de $X^{n-1}$ divisé par le coefficient dominant :

$$\sum _{k=0}^{n-1}{\omega }_k=-\frac{0}{1}=0.$$

4) Le produit. Il vaut $(-1{)}^n$ fois le terme constant divisé par le coefficient dominant :

$$\prod _{k=0}^{n-1}{\omega }_k=(-1{)}^n\times \frac{-1}{1}=(-1{)}^{n+1}.$$

⚠️ L'hypothèse $n\ge 2$ n'est pas décorative. Pour $n=1$, le polynôme $X-1$ a un coefficient en $X^0$ qui est aussi son terme constant : le raisonnement sur « le coefficient de $X^{n-1}$ est nul » s'effondre, et la somme des racines vaut $1$, pas $0$. Dès $n=2$, en revanche, les deux coefficients sont distincts et le trou entre eux est réel.

Contrôles numériques. Pour $n=2$, les racines sont $1$ et $-1$ : somme $0$ ✔, produit $-1=(-1{)}^3$ ✔. Pour $n=3$, les racines sont $1$, $j$, $j^2$ : la somme $1+j+j^2$ est nulle — c'est l'identité du chapitre 3 ✔ — et le produit vaut $j^3=1=(-1{)}^4$ ✔. Pour $n=4$, les racines sont $1$, $i$, $-1$, $-i$ : leur somme est nulle ✔, et leur produit vaut $1\times i\times (-1)\times (-i)=i\times i=i^2=-1$, c'est-à-dire $(-1{)}^5$ ✔.

Une lecture géométrique. Les $n$ racines sont les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité. Que leur somme soit nulle dit exactement que le centre de gravité de ce polygone est l'origine : le résultat algébrique se voit sur la figure.

Ce que l'exercice installe. Un polynôme dont on connaît la factorisation renseigne sur ses racines par ses seuls coefficients. Ici, deux coefficients — un zéro et un $-1$ — livrent une somme et un produit portant sur $n$ nombres complexes, quel que soit $n$.