Trois racines en progression arithmétique

Stratégie : nommer les racines avec l'hypothèse dedans. L'énoncé offre une information — les trois racines sont en progression arithmétique — et le seul moyen de l'exploiter est de la faire entrer dans les notations : on ne pose pas trois inconnues, on en pose deux.

1) Le paramétrage. Trois nombres en progression arithmétique s'écrivent $b-r$, $b$, $b+r$, où $b$ est le terme central et $r$ la raison. Deux inconnues remplacent trois.

2) La somme donne le terme central. Le polynôme $X^3-6X^2+3X+10$ est unitaire ; la somme de ses racines vaut l'opposé du coefficient de $X^2$ :

$$(b-r)+b+(b+r)=3b=6,\text{donc }b=2.$$

⚠️ C'est ici que le paramétrage paie. Les termes $-r$ et $+r$ se détruisent dans la somme : le terme central se lit sans rien savoir de la raison. Vérifions d'ailleurs que $2$ est bien racine : $8-24+6+10=0$. ✔

3) Le produit donne la raison. Le produit des racines d'un polynôme unitaire de degré $3$ vaut $(-1{)}^3$ fois le terme constant, soit $-10$ :

$$(2-r)\times 2\times (2+r)=2\left(4-r^2\right)=-10⟺4-r^2=-5⟺r^2=9.$$

D'où $r=3$ (le choix $r=-3$ donne les mêmes trois nombres, dans l'ordre inverse), et

$$\boxed{\text{les racines sont }-1,2,5.}$$

Contrôle par développement. $(X+1)(X-2)(X-5)=(X+1)\left(X^2-7X+10\right)=X^3-6X^2+3X+10$. ✔ Et l'on vérifie la progression : $-1$, $2$, $5$ avancent bien de $3$ en $3$.

Ce que l'exercice installe. Les relations entre coefficients et racines ne servent pas à trouver les racines en général — c'est même impossible au-delà du degré $4$ —, mais elles deviennent décisives dès qu'une information de structure est donnée : progression arithmétique, progression géométrique, une racine égale au produit des deux autres. On traduit la structure en paramètres, et les relations font le reste.