Un pôle simple, un pôle double

Stratégie : un coefficient à la fois, chacun par le geste qui l'isole. Trois inconnues, donc trois équations — mais plutôt que de tout réduire au même dénominateur et d'identifier, on multiplie par le bon facteur et l'on évalue au bon endroit : chaque coefficient tombe seul.

1) Le pôle simple $0$. Multiplions l'identité par $X$ et faisons tendre $x$ vers $0$. À droite, les deux derniers termes sont multipliés par $x\to 0$ et disparaissent ; il reste $a$. À gauche :

$$a={\left[xF(x)\right]}_{x\to 0}={\left[\frac{x^2+1}{(x-1{)}^2}\right]}_{x=0}=\frac{1}{1}=1.$$

2) Le coefficient extrême du pôle double. Même geste avec $(X-1{)}^2$ : à droite, seuls les termes en $\frac{a}{X}$ et $\frac{b}{X-1}$ se trouvent multipliés par un facteur qui tend vers $0$, et il reste $c$ :

$$c={\left[(x-1{)}^{2}F(x)\right]}_{x=1}={\left[\frac{x^2+1}{x}\right]}_{x=1}=\frac{2}{1}=2.$$

3) Le coefficient du milieu, par la limite en l'infini. Le geste précédent ne donne pas $b$ : multiplier par $(X-1)$ ferait exploser le terme en $\frac{c}{(X-1{)}^2}$. On multiplie donc par $X$ et l'on fait tendre $x$ vers $+\infty$. À gauche, $xF(x)=\frac{x^3+x}{x(x-1{)}^2}\to 1$ ; à droite, $a+\frac{bx}{x-1}+\frac{cx}{(x-1{)}^2}\to a+b$. Donc $a+b=1$, d'où $b=0$ :

$$\boxed{\frac{X^2+1}{X(X-1{)}^2}=\frac{1}{X}+\frac{2}{(X-1{)}^2}.}$$

⚠️ Le coefficient nul est le piège de l'exercice. On est tenté de le juger impossible et de chercher l'erreur : la forme fournie autorise un $\frac{b}{X-1}$, elle ne l'impose pas. Et l'unicité de la décomposition garantit qu'aucune autre valeur de $b$ ne conviendrait.

Contrôle numérique. En $x=2$ : à gauche $\frac{4+1}{2\times 1}=\frac{5}{2}$ ; à droite $\frac{1}{2}+\frac{2}{1}=\frac{5}{2}$. ✔ En $x=-1$ : à gauche $\frac{2}{-1\times 4}=-\frac{1}{2}$ ; à droite $-1+\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$. ✔

4) La primitive sur $\left]1,+\infty \right[$. Chaque morceau se primitive séparément, et sur cet intervalle $x>0$ donc $\ln |x|=\ln x$ :

$${\int }^x\frac{t^2+1}{t(t-1{)}^2}\mathrm{d}t=\ln x-\frac{2}{x-1}+C.$$

Contrôle par dérivation : ${\left(\ln x-\frac{2}{x-1}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}+\frac{2}{(x-1{)}^2}$, ce qui est exactement la décomposition. ✔

Ce que l'exercice installe. Décomposer, c'est rendre intégrable : une fraction rationnelle quelconque n'a pas de primitive lisible, une somme d'éléments simples en a toujours une, faite de logarithmes et de puissances. C'est la raison d'être du procédé, et on la retrouvera à chaque calcul d'intégrale de fraction rationnelle.