Une équation fonctionnelle entre polynômes

Stratégie : analyse-synthèse, le degré d'abord, les racines ensuite.

1) Le degré. Le polynôme nul est solution ; supposons désormais $P\ne 0$ et posons $d=\mathrm{deg}P$. La composition multiplie les degrés : $\mathrm{deg}P(X^2)=2d$. À droite, le degré d'un produit est la somme des degrés : $\mathrm{deg}((X^2+1)P)=2+d$. L'égalité impose

$$2d=d+2,\text{donc}d=2.$$

2) Deux racines, obtenues par évaluation. Évaluons l'identité en $X=1$ : $P(1)=2P(1)$, donc $P(1)=0$. Évaluons-la maintenant en $X=i$ : $P(i^2)=(i^2+1)P(i)$, c'est-à-dire $P(-1)=0\times P(i)=0$.

Ainsi $1$ et $-1$ sont racines de $P$ ; ce sont deux racines distinctes d'un polynôme de degré $2$, donc

$$P=\lambda (X-1)(X+1)=\lambda \left(X^2-1\right),\lambda \in {\mathbb{R}}^{\ast }.$$

⚠️ On a évalué en $i$ un polynôme à coefficients réels. C'est parfaitement licite : $\mathbb{R}[X]\subset \mathbb{C}[X]$, et une égalité entre deux polynômes réels est une égalité entre leurs coefficients, donc elle reste vraie quand on y substitue un complexe. C'est ce détour par $i$ qui livre la seconde racine, invisible sur la droite réelle.

3) Synthèse. Avec $P=\lambda (X^2-1)$ :

$$P(X^2)=\lambda \left(X^4-1\right)=\lambda \left(X^2-1\right)\left(X^2+1\right)=\left(X^2+1\right)P(X).✓$$

Conclusion. Les solutions sont exactement les $P=\lambda \left(X^2-1\right)$, $\lambda \in \mathbb{R}$ — la valeur $\lambda =0$ redonnant le polynôme nul.

Contrôle numérique. Avec $\lambda =1$ et $x=3$ : à gauche $P(9)=81-1=80$ ; à droite $(9+1)\times P(3)=10\times 8=80$. ✔ Avec $x=-2$ : $P(4)=15$ et $(4+1)\times P(-2)=5\times 3=15$. ✔

Ce que l'exercice installe. Une équation entre polynômes se prend par deux bouts complémentaires : le degré, qui réduit l'infini des candidats à une famille finie, puis l'évaluation en des points bien choisis, qui fournit des racines. Les points choisis ici — $1$, puis $i$ — sont ceux qui annulent l'un des deux membres.