Dériver une relation de dépendance : exponentielles et harmoniques

La stratégie. Dans un espace de fonctions, une relation de dépendance est une égalité de fonctions, vraie pour tout $x$ : on peut donc la dériver. Or la dérivation multiplie chaque exponentielle $e^{a_{k}x}$ par son propre facteur $a_k$ ; en retranchant $a_p$ fois la relation initiale, le dernier terme disparaît, et une récurrence conclut.

1) Les exponentielles. Notons ${\mathcal{P}}_p$ l'assertion : « pour tous complexes $a_1,\dots ,a_p$ deux à deux distincts et tous complexes $c_1,\dots ,c_p$, si ${\sum }_k{c}_k{e}^{a_{k}x}=0$ pour tout réel $x$, alors tous les $c_k$ sont nuls ».

Initialisation. Si $c_1{e}^{a_{1}x}=0$ pour tout $x$, l'évaluation en $x=0$ donne $c_1=0$.

Hérédité. Supposons ${\mathcal{P}}_{p-1}$ et soit une relation ${\sum }_{k=1}^p{c}_k{e}^{a_{k}x}=0$ pour tout $x$. La fonction nulle a une dérivée nulle ; comme la dérivée de $x\mapsto e^{ax}$ est $x\mapsto a{e}^{ax}$, y compris pour $a$ complexe, $$\sum _{k=1}^p{c}_k{a}_k{e}^{a_{k}x}=0\text{pour tout }x.$$ Retranchons $a_p$ fois la relation initiale : le terme d'indice $p$ disparaît, et $$\sum _{k=1}^{p-1}{c}_k(a_k-a_p)e^{a_{k}x}=0\text{pour tout }x.$$ C'est une relation entre $p-1$ exponentielles d'exposants deux à deux distincts : par ${\mathcal{P}}_{p-1}$, $c_k(a_k-a_p)=0$ pour $k\le p-1$, et comme $a_k\ne a_p$, $c_k=0$. Il reste $c_p{e}^{a_{p}x}=0$, d'où $c_p=0$ en $x=0$. ${\mathcal{P}}_p$ est établie.

2) Les harmoniques. Soit une relation ${\sum }_{k=0}^n{\lambda }_k\cos kx=0$ pour tout $x$. Dérivons deux fois : $(\cos kx{)}^{\prime \prime }=-k^2\cos kx$, donc ${\sum }_{k=0}^n(-k^2){\lambda }_k\cos kx=0$. Ajoutons $n^2$ fois la relation initiale : $$\sum _{k=0}^{n-1}(n^2-k^2){\lambda }_k\cos kx=0\text{pour tout }x.$$ On raisonne par récurrence sur $n$, l'initialisation $n=0$ étant ${\lambda }_0\cdot 1=0$ : l'hypothèse de récurrence, appliquée à cette relation entre les cosinus d'indices $0$ à $n-1$, donne $(n^2-k^2){\lambda }_k=0$, donc ${\lambda }_k=0$ pour $k<n$, puisque $n^2-k^2>0$ ; il reste ${\lambda }_n\cos nx=0$, et $x=0$ donne ${\lambda }_n=0$. Le même calcul vaut pour les sinus, avec $(\sin kx{)}^{\prime \prime }=-k^2\sin kx$ : l'initialisation ${\lambda }_1\sin x=0$ donne ${\lambda }_1=0$ en $x=\frac{\pi }{2}$, et la dernière étape ${\lambda }_n\sin nx=0$ donne ${\lambda }_n=0$ en $x=\frac{\pi }{2n}$.

3) Une autre preuve, par la limite. Si les $a_k$ sont réels et $a_1<\cdots <a_p$, divisons la relation par $e^{a_{p}x}$, qui ne s'annule jamais : $$\sum _{k=1}^{p-1}{c}_k{e}^{(a_k-a_p)x}+c_p=0\text{pour tout }x.$$ Chaque exposant $a_k-a_p$ est strictement négatif : quand $x\to +\infty$, tous les termes de la somme tendent vers $0$, et il reste $c_p=0$. On conclut par récurrence comme au 1). Cette preuve exige un ordre sur les exposants ; celle du 1) fonctionne aussi pour des exposants complexes, où il n'y a pas d'« exposant dominant ».

4) Le résultat général. La preuve du 1) n'a utilisé que deux propriétés de la dérivation $D$ : elle est linéaire, et elle envoie chaque fonction $f_k:x\mapsto e^{a_{k}x}$ sur un multiple d'elle-même, $D(f_k)=a_k{f}_k$. Même chose au 2) avec $D^2$, qui envoie $\cos kx$ sur $-k^2\cos kx$, les nombres $-k^2$ étant deux à deux distincts.

L'énoncé. Soit $u\in \mathcal{L}(E)$ et $x_1,\dots ,x_p$ non nuls tels que $u(x_k)={\lambda }_k{x}_k$, les ${\lambda }_k$ deux à deux distincts. Alors $(x_1,\dots ,x_p)$ est libre.

La preuve, par récurrence sur $p$. Pour $p=1$, un vecteur non nul forme une famille libre. Si ${\sum }_{k=1}^p{c}_k{x}_k=0$, on applique $u$, qui est linéaire : ${\sum }_k{c}_k{\lambda }_k{x}_k=0$ ; on retranche ${\lambda }_p$ fois la relation : ${\sum }_{k=1}^{p-1}{c}_k({\lambda }_k-{\lambda }_p)x_k=0$. Par hypothèse de récurrence, $c_k({\lambda }_k-{\lambda }_p)=0$, donc $c_k=0$ pour $k<p$ ; il reste $c_p{x}_p=0$ avec $x_p\ne 0$, donc $c_p=0$.

Le point délicat. La récurrence s'applique à la nouvelle relation, dont les coefficients sont $c_k({\lambda }_k-{\lambda }_p)$, et non plus $c_k$ : c'est pour cela qu'on a besoin que les ${\lambda }_k$ soient deux à deux distincts, pour pouvoir diviser par ${\lambda }_k-{\lambda }_p$.

Ce que l'exercice installe. Des vecteurs que $u$ multiplie chacun par un facteur différent sont toujours libres — on les appellera, en seconde année, des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. En physique, c'est l'unicité du spectre d'un signal : un signal périodique ne s'écrit que d'une seule façon comme combinaison des harmoniques $\cos kx$ et $\sin kx$ ; et c'est ce qui rend libres les modes propres d'une corde vibrante, fonctions que la dérivation seconde multiplie chacune par sa propre constante. Au passage, la famille des exponentielles fournit, pour tout $p$, une famille libre de $p$ fonctions : l'espace des fonctions n'est pas de dimension finie.