Des équations aux dimensions : compter les conditions par le théorème du rang

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Un noyau est un sous-espace ; le théorème du rang ; la caractérisation des bases, en dimension $n$, comme familles libres de $n$ vecteurs ; la liberté d'une famille de polynômes à degrés distincts ; la caractérisation dimensionnelle des supplémentaires ; la linéarité de l'intégrale et les primitives des puissances (chapitre 4). La stratégie : un sous-espace décrit par des équations est le noyau d'une application linéaire ; si cette application est surjective, chaque équation retire exactement une dimension. C'est l'objectif même du programme de PTSI : calculer une dimension par une paramétrisation, ou par des équations.

1) Une condition, une dimension. Linéarité : l'intégrale est linéaire, $\phi (\lambda P+\mu Q)=\lambda \phi (P)+\mu \phi (Q)$. Donc $H=\mathrm{Ker}\phi$ est un sous-espace de ${\mathbb{R}}_n[X]$, sans aucune vérification à la main. Surjectivité : l'espace d'arrivée $\mathbb{R}$ est de dimension $1$, donc $\mathrm{rg}\phi$ vaut $0$ ou $1$ ; or $\phi (1)={\int }_0^1\mathrm{d}t=1\ne 0$, donc $\mathrm{rg}\phi =1$. Le théorème du rang donne $$\dim H=\dim {\mathbb{R}}_n[X]-\mathrm{rg}\phi =(n+1)-1=n.$$ Le supplémentaire : si la constante $c$ est dans $H$, ${\int }_0^{1}c\mathrm{d}t=c=0$ ; l'intersection est nulle, et $\dim H+\dim {\mathbb{R}}_0[X]=n+1$ : la caractérisation dimensionnelle donne ${\mathbb{R}}_n[X]=H\oplus {\mathbb{R}}_0[X]$. Concrètement, $P=(P-\phi (P))+\phi (P)$ : on retranche à $P$ sa valeur moyenne sur $[0,1]$. La base : $\phi (X^k)={\int }_0^1{t}^k\mathrm{d}t=\frac{1}{k+1}$, donc chaque $X^k-\frac{1}{k+1}$ est dans $H$ ; ces $n$ polynômes sont de degrés deux à deux distincts $1,2,\dots ,n$, donc libres ; famille libre de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$, c'est une base de $H$.

Le point délicat. Le petit calcul $\phi (1)=1$, qu'on saute volontiers : sans lui, rien n'interdit à $\phi$ d'être nulle, auquel cas $H$ serait ${\mathbb{R}}_n[X]$ tout entier. Exhiber un seul polynôme d'intégrale non nulle établit la surjectivité, donc le rang, donc la dimension.

2) Trois conditions, trois dimensions. Linéarité : chacune des trois composantes est linéaire en $P$ — l'évaluation en un point, et l'intégrale —, donc $u$ l'est. Trois antécédents : $u(1)=(1,1,1)$, $u(X)=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$ et $u(X^2)=\left(0,1,\frac{1}{3}\right)$. Ces trois vecteurs sont libres : si $a(1,1,1)+b\left(0,1,\frac{1}{2}\right)+c\left(0,1,\frac{1}{3}\right)=0$, la première coordonnée donne $a=0$, puis $b+c=0$ et $\frac{b}{2}+\frac{c}{3}=0$, d'où, en retranchant la moitié de la première à la seconde, $-\frac{c}{6}=0$ : $c=0$ et $b=0$. Trois vecteurs libres de ${\mathbb{R}}^3$ en forment une base ; ils sont dans $\mathrm{Im}u$ puisque $n\ge 2$, donc $\mathrm{Im}u$, sous-espace de ${\mathbb{R}}^3$ qui contient une base, est ${\mathbb{R}}^3$ : $u$ est surjective. Comme $K=\mathrm{Ker}u$, le théorème du rang donne $$\dim K=(n+1)-3=n-2.$$ Trois conditions linéaires indépendantes retirent trois dimensions ; « indépendantes » a ici un sens précis : l'application qui les rassemble est surjective.

3) Une base pour $n=4$. Notons $A=X(X-1)(2X-1)=2X^3-3X^2+X$ et $B=X(X-1)(5X^2+5X-4)=5X^4-9X^2+4X$. Tous deux s'annulent en $0$ et en $1$, grâce au facteur $X(X-1)$. Leurs intégrales : ${\int }_0^{1}A=\frac{2}{4}-\frac{3}{3}+\frac{1}{2}=0$ et ${\int }_0^{1}B=\frac{5}{5}-\frac{9}{3}+\frac{4}{2}=1-3+2=0$. Donc $A,B\in K$ ; ils sont de degrés distincts $3$ et $4$, donc libres ; et $\dim K=4-2=2$ : $(A,B)$ est une base de $K$. Au passage, $A$ est impair autour de $\frac{1}{2}$ : $A\left(\frac{1}{2}+s\right)=2\left(s^2-\frac{1}{4}\right)s$, d'où son intégrale nulle sans calcul.

4) Le cas $n=1$. Pour $P=a+bX$, $P(0)=a$ et $P(1)=a+b$ : $P(0)=P(1)=0$ force $a=b=0$, donc $K=\{0\}$, de dimension $0$, et non $n-2=-1$, qui n'a pas de sens. Le théorème du rang dit toujours $\dim K=2-\mathrm{rg}u$ ; mais $u$ part d'un espace de dimension $2$, son rang est au plus $2$ : $u$ n'est plus surjective, et ici $\mathrm{rg}u=2$ puisque $u(1)=(1,1,1)$ et $u(X)=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$ sont libres. Les trois conditions ne sont plus indépendantes sur un espace trop petit : la troisième, ${\int }_0^{1}P=\frac{a+(a+b)}{2}$, découle des deux premières.

Ce que l'exercice installe. Compter les dimensions par les équations : un sous-espace décrit par $m$ conditions linéaires est un noyau, et sa dimension vaut $\dim E-m$ exactement quand l'application des conditions est surjective — ce qu'on prouve en exhibant $m$ antécédents d'une base. Il reviendra au chapitre 12, où le rang d'un système d'équations se lira sur sa matrice, et dans toute l'année : en sciences industrielles, les liaisons d'un mécanisme imposent des conditions linéaires sur les vitesses, et chaque condition indépendante retire un degré de liberté.