Le rang d'une somme, et deux rangs qui se partagent la dimension

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'inclusion d'un sous-espace dans un autre et la comparaison des dimensions, avec son cas d'égalité ; la formule de Grassmann ; le théorème du rang ; la caractérisation dimensionnelle des supplémentaires ; le fait qu'un automorphisme est surjectif. La stratégie : deux inégalités de sens contraire font une égalité — l'une vient d'une inclusion d'images, l'autre d'une surjectivité, et chacune n'utilise qu'une des deux hypothèses du 2).

1) Le rang est sous-additif. Soit $y\in \mathrm{Im}(u+v)$ : il existe $x$ tel que $y=u(x)+v(x)$, somme d'un élément de $\mathrm{Im}u$ et d'un élément de $\mathrm{Im}v$. Donc $\mathrm{Im}(u+v)\subset \mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v$. Un sous-espace inclus dans un autre est de dimension plus petite, et la formule de Grassmann donne $$\mathrm{rg}(u+v)\le \dim (\mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v)=\mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v-\dim (\mathrm{Im}u\cap \mathrm{Im}v)\le \mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v.$$ La minoration. Voici le geste : on applique ce qui précède non pas au couple $(u,v)$, mais au couple $(u+v,-v)$, dont la somme vaut $u$ : $$\mathrm{rg}u=\mathrm{rg}((u+v)+(-v))\le \mathrm{rg}(u+v)+\mathrm{rg}(-v).$$ Or $\mathrm{Im}(-v)=\mathrm{Im}v$, puisque $-v(x)=v(-x)$ ; donc $\mathrm{rg}u-\mathrm{rg}v\le \mathrm{rg}(u+v)$. En échangeant les rôles de $u$ et $v$, $\mathrm{rg}v-\mathrm{rg}u\le \mathrm{rg}(u+v)$. Les deux ensemble : $$|\mathrm{rg}u-\mathrm{rg}v|\le \mathrm{rg}(u+v)\le \mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v.$$ C'est l'inégalité triangulaire, et sa forme renversée, écrites pour le rang.

2) Deux rangs qui se partagent la dimension. La majoration, par $u\circ v=0$. Soit $y\in \mathrm{Im}v$, $y=v(x)$ : alors $u(y)=(u\circ v)(x)=0$, donc $y\in \mathrm{Ker}u$. Ainsi $\mathrm{Im}v\subset \mathrm{Ker}u$, d'où $\mathrm{rg}v\le \dim \mathrm{Ker}u$, et, par le théorème du rang appliqué à $u$, $\dim \mathrm{Ker}u=n-\mathrm{rg}u$. Donc $$\mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v\le n.$$ La minoration, par l'inversibilité de $u+v$. Un automorphisme est surjectif : $\mathrm{Im}(u+v)=E$, et $\mathrm{rg}(u+v)=n$. Le 1) donne alors $n=\mathrm{rg}(u+v)\le \mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v$. Les deux inégalités se referment : $$\mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v=n.$$ Ce que l'égalité livre en plus. Dans la majoration, $\mathrm{Im}v\subset \mathrm{Ker}u$ avec $\dim \mathrm{Im}v=n-\mathrm{rg}u=\dim \mathrm{Ker}u$ : une inclusion plus une égalité de dimensions font une égalité, $\mathrm{Im}v=\mathrm{Ker}u$. Dans la minoration, la chaîne du 1) s'écrit $n=\mathrm{rg}(u+v)\le \dim (\mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v)\le n$, puisque $\mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v$ est un sous-espace de $E$ : donc $\mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v$ est de dimension $n$, c'est $E$ ; et $\dim (\mathrm{Im}u\cap \mathrm{Im}v)=\mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v-n=0$. $E=\mathrm{Im}u\oplus \mathrm{Im}v$.

Le point délicat. Chaque hypothèse ne donne qu'une moitié : sans l'inversibilité, $u=v=0$ vérifie $u\circ v=0$ et la somme des rangs vaut $0$, pas $n$ ; sans $u\circ v=0$, $u=v={\mathrm{id}}_E$ a une somme $2{\mathrm{id}}_E$ inversible et une somme des rangs égale à $2n$. Et il faut relire les inégalités devenues des égalités : ce sont elles qui disent où il n'y avait pas de perte — ici, une somme directe et un noyau exactement rempli par l'image de $v$.

3) Applications et exemples. Un projecteur. Avec $u=p$ et $v={\mathrm{id}}_E-p$ : $u\circ v=p-p^2=0$, puisque $p^2=p$, et $u+v={\mathrm{id}}_E$ est inversible. Le 2) donne $\mathrm{rg}p+\mathrm{rg}({\mathrm{id}}_E-p)=n$, et même $E=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Im}({\mathrm{id}}_E-p)$ : c'est la décomposition d'un projecteur, retrouvée par le seul calcul des rangs. Une égalité dans le 1). Dans ${\mathbb{R}}^2$, soient $u(x,y)=(x,0)$ et $v(x,y)=(0,y)$ : $\mathrm{rg}u=\mathrm{rg}v=1$ et $u+v=\mathrm{id}$, de rang $2=1+1$. Une inégalité stricte. Avec $v=u$, où $u(x,y)=(x,0)$ : $u+v=2u$, de même image que $u$, donc de rang $1<1+1$ ; et avec $v=-u$, $u+v=0$ est de rang $0=|\mathrm{rg}u-\mathrm{rg}v|$ : la minoration du 1) est atteinte.

Ce que l'exercice installe. Le rang est sous-additif, comme la valeur absolue ; appliquer une majoration déjà acquise à un couple déguisé en fournit une minoration ; et une égalité de dimensions se démontre par deux inégalités de provenances différentes, qu'on relit ensuite comme des égalités. Au TD 12, traduit en matrices, ce même encadrement montrera qu'une matrice de rang $r$ n'est jamais somme de moins de $r$ matrices de rang $1$. En sciences industrielles, on retrouve ce partage dans les liaisons entre deux solides : le nombre de mobilités d'une liaison et le nombre d'inconnues d'efforts qu'elle transmet se partagent les six dimensions du mouvement, leur somme vaut six.