Lecture linéaire des problèmes de l'année

Stratégie : relire un résultat connu dans un langage neuf. Rien de nouveau n'est démontré ici — l'équation $y^{\prime }+y=x$ a été résolue au chapitre 4. Ce qui change, c'est le vocabulaire : on va voir que la « solution générale égale solution particulière plus solution de l'équation homogène » est un théorème d'algèbre linéaire, et un seul.

1) L'application linéaire. Posons

$$u:{\mathcal{C}}^1(\mathbb{R})⟶{\mathcal{C}}^0(\mathbb{R}),u(y)=y^{\prime }+y.$$

Elle est linéaire : la dérivation l'est, la somme de deux applications linéaires l'est. Résoudre l'équation différentielle, c'est résoudre l'équation linéaire $u(y)=f$, où $f$ est la fonction $x\mapsto x$.

2) Le noyau. C'est l'ensemble des solutions de l'équation homogène $y^{\prime }+y=0$, dont le cours du chapitre 4 donne toutes les solutions :

$$\mathrm{Ker}u=\left\{x\mapsto C{e}^{-x}:C\in \mathbb{R}\right\}=\mathrm{Vect}\left(x\mapsto e^{-x}\right).$$

C'est une droite vectorielle : sa dimension vaut $1$.

3) Une solution particulière. La fonction $y_0:x\mapsto x-1$ convient, car $y_0^{\prime }+y_0=1+x-1=x$. ✔

4) La structure de l'ensemble des solutions. Le théorème du cours sur les équations linéaires dit que si l'équation $u(y)=f$ admet une solution $y_0$, l'ensemble de ses solutions est exactement

$$\boxed{y_0+\mathrm{Ker}u=\left\{x\mapsto x-1+C{e}^{-x}:C\in \mathbb{R}\right\}.}$$

⚠️ Le point à comprendre : ce n'est pas un sous-espace vectoriel. L'ensemble des solutions ne contient pas la fonction nulle dès que $f\ne 0$ — c'est un sous-espace translaté, ce que le cours appelle un sous-espace affine. C'est aussi pourquoi il faut une solution particulière : sans elle, il n'y a rien à translater, et l'ensemble pourrait être vide.

5) Ce que devient la constante d'intégration. Le fameux $C$ n'est pas un artefact de calcul : c'est la coordonnée le long du noyau. Il y en a un seul parce que le noyau est de dimension $1$. Le même schéma explique d'un coup, et sans nouveau théorème :

l'équation	le noyau	sa dimension	le nombre de constantes
$y^{\prime }+ay=f$	$\mathrm{Vect}\left(e^{-ax}\right)$	$1$	une
$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=f$	deux solutions indépendantes	$2$	deux
$u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n+c$	deux suites indépendantes	$2$	deux
un système linéaire de rang $r$ à $p$ inconnues	noyau de dimension $p-r$	$p-r$	$p-r$

Contrôle numérique. Prenons $C=2$, donc $y(x)=x-1+2e^{-x}$. Alors $y^{\prime }(x)=1-2e^{-x}$, et $y^{\prime }+y=1-2e^{-x}+x-1+2e^{-x}=x$. ✔ La vérification ne dépend pas de $C$ : c'est exactement ce que dit l'appartenance au noyau.

Ce que l'exercice installe. Une seule phrase — « les solutions sont une solution particulière plus le noyau » — recouvre les équations différentielles, les suites récurrentes et les systèmes linéaires de toute l'année. Le nombre de constantes n'est pas une convention : c'est une dimension.