Liberté de familles trigonométriques

Stratégie : évaluer en des points bien choisis. Dans un espace de fonctions, une relation de dépendance n'est pas une égalité de nombres mais une égalité de fonctions : elle vaut pour tout réel $x$. On dispose donc d'une infinité d'équations, et il suffit d'en retenir assez pour coincer les coefficients.

a) La famille $(\cos ,\sin )$ est libre.

Supposons $a\cos +b\sin =0$, c'est-à-dire $a\cos x+b\sin x=0$ pour tout $x$.

En $x=0$ : $a\cdot 1+b\cdot 0=0$, donc $a=0$. En $x=\frac{\pi }{2}$ : $a\cdot 0+b\cdot 1=0$, donc $b=0$.

Les deux coefficients sont nuls : la famille est libre.

b) La famille $\left(1,{\cos }^2,{\sin }^2\right)$ est liée.

L'identité de Pythagore ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, valable pour tout réel $x$, se réécrit $$(-1)\cdot 1+1\cdot {\cos }^2+1\cdot {\sin }^2=0,$$ relation à coefficients $(-1,1,1)$, non tous nuls. La famille est liée.

c) La famille $\left(1,\cos ,\cos 2x\right)$ est libre.

Supposons $a+b\cos x+c\cos 2x=0$ pour tout $x$, et évaluons en trois points :

$x$	$\cos x$	$\cos 2x$	équation
$0$	$1$	$1$	$a+b+c=0$
$\frac{\pi }{2}$	$0$	$-1$	$a-c=0$
$\pi$	$-1$	$1$	$a-b+c=0$

En additionnant la première et la troisième : $2a+2c=0$, donc $a=-c$. La deuxième donne $a=c$. Les deux ensemble forcent $a=c=0$, et la première donne alors $b=0$. La famille est libre.

⚠️ Le point délicat : les deux sens ne se prouvent pas de la même façon. Pour établir la liberté, évaluer en quelques points est parfaitement licite : on obtient des conditions nécessaires sur les coefficients, et si elles forcent tous les coefficients à être nuls, c'est gagné. Pour établir qu'une famille est liée, en revanche, aucun choix de points ne suffira jamais : il faut une relation valable pour tout $x$ — ici l'identité de Pythagore, qui est un théorème, pas une évaluation.

Une remarque qui éclaire le c). Comme $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, la famille $\left(1,\cos ,\cos 2x\right)$ engendre le même sous-espace que $\left(1,\cos ,{\cos }^2\right)$, et sa liberté est celle de $\left(1,X,X^2\right)$ transportée par $X\mapsto \cos x$ — la fonction $\cos$ prenant une infinité de valeurs, un polynôme non nul ne peut pas s'annuler sur toutes.

Contrôle. Le système du c) a pour matrice $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$, dont l'échelonnement donne trois pivots : rang $3$, donc solution unique $(0,0,0)$. Les trois points choisis suffisaient bien.

Ce que l'exercice installe. Dans un espace de fonctions, l'outil de la liberté est l'évaluation ; tout l'art est dans le choix des points — on prend ceux où les fonctions valent $0$, $1$ ou $-1$. Et l'exemple du b) rappelle que trois fonctions « visiblement différentes » peuvent parfaitement être liées.