Libre ou liée ?

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PTSI), chapitre 11 — Espaces vectoriels et applications linéaires · B. Familles libres, génératrices, bases

Énoncé

Dans $R^{3}$ , les familles suivantes sont-elles libres ?

$F_{1} = ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, - 1)), F_{2} = ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)) .$

Corrigé

$F_{1}$ : cherchons $a (1, 1, 0) + b (0, 1, 1) + c (1, 0, - 1) = 0$ , soit $a + c = 0$ , $a + b = 0$ , $b - c = 0$ . De là $c = - a$ , $b = - a$ , et la troisième équation $- a + a = 0$ est toujours vraie : $(a, b, c) = (1, - 1, - 1)$ convient — liée. (On le voit directement : $(1, 1, 0) - (0, 1, 1) = (1, 0, - 1)$ .)

$F_{2}$ : le système devient $a + c = 0$ , $a + b = 0$ , $b + c = 0$ : en sommant, $2 (a + b + c) = 0$ , puis chaque équation donne $a = b = c = 0$ — libre. Trois vecteurs libres dans $R^{3}$ de dimension $3$ : c'est même une base.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.