Noyau, image, théorème du rang

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 11 — Espaces vectoriels et applications linéaires · D. Applications linéaires, noyaux et images

Énoncé

Soit $u : R^{3} \to R^{2}$ définie par $u (x, y, z) = (x + y + z, x - z)$ . Déterminer $Ker u$ , $rg (u)$ et $Im u$ .

Corrigé

Noyau : $u (x, y, z) = 0$ équivaut au système $x + y + z = 0$ , $x = z$ ; en paramétrant par $z$ : $x = z$ , $y = - 2 z$ , donc

$Ker u = Vect ((1, - 2, 1)) : une droite, dim Ker u = 1.$

Rang : par le théorème du rang, $rg (u) = dim R^{3} - dim Ker u = 3 - 1 = 2$ .

Image : $Im u$ est un sous-espace de dimension $2$ de $R^{2}$ , donc $Im u = R^{2}$ : $u$ est surjective (mais pas injective). Le théorème du rang a fait tout le travail dimensionnel.

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