$p+q$ est un projecteur si et seulement si $pq=qp=0$

La stratégie. Un projecteur est caractérisé par $p^2=p$ ; tout se ramène donc à calculer le carré de $p+q$. La difficulté est que la composition n'est pas commutative : $pq$ et $qp$ sont a priori différents, et l'on ne peut pas écrire $(p+q{)}^2=p^2+2pq+q^2$. On développe par bilinéarité de la composition, en gardant l'ordre.

1) Le sens direct. Par bilinéarité, $$(p+q{)}^2=p^2+pq+qp+q^2=p+pq+qp+q.$$ Si $pq=qp=0$, il reste $(p+q{)}^2=p+q$ : $p+q$ est un projecteur.

2) La réciproque. Si $(p+q{)}^2=p+q$, le calcul du 1) donne $pq+qp=0$. Composons à gauche par $p$ : $p^{2}q+pqp=0$, soit $pq+pqp=0$. Composons à droite par $p$ : $pqp+q{p}^2=0$, soit $pqp+qp=0$. En soustrayant, le terme $pqp$ disparaît : $pq-qp=0$, donc $pq=qp$. Reporté dans $pq+qp=0$, cela donne $2pq=0$, donc $pq=0$ — la division par $2$ est licite dans $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ — et $qp=pq=0$.

Le point délicat. On ne sait rien de $pqp$ ; l'astuce est de le faire apparaître deux fois, par deux compositions différentes, pour l'éliminer par soustraction. C'est le calcul type avec des objets qui ne commutent pas.

3) Image et noyau. L'image. Si $y=(p+q)(x)$, alors $y=p(x)+q(x)\in \mathrm{Im}p+\mathrm{Im}q$. Réciproquement, si $y=p(a)+q(b)$, alors, avec $pq=qp=0$, $(p+q)(y)=p^2(a)+pq(b)+qp(a)+q^2(b)=p(a)+q(b)=y$, donc $y\in \mathrm{Im}(p+q)$. La somme est directe : si $y\in \mathrm{Im}p\cap \mathrm{Im}q$, alors $y=p(y)$ et $y=q(y)$ (un projecteur fixe les vecteurs de son image), donc $y=p(y)=p(q(y))=0$. D'où $\mathrm{Im}(p+q)=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Im}q$.

Le noyau. L'inclusion $\mathrm{Ker}p\cap \mathrm{Ker}q\subset \mathrm{Ker}(p+q)$ est claire. Réciproquement, si $p(x)+q(x)=0$, on applique $p$ : $p(x)+pq(x)=p(x)=0$ ; on applique $q$ : $qp(x)+q(x)=q(x)=0$. Donc $x\in \mathrm{Ker}p\cap \mathrm{Ker}q$.

4) Une décomposition de l'identité. L'identité est un projecteur ; par le 2), $pq=qp=0$, et par le 3), $E=\mathrm{Im}(\mathrm{id})=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Im}q$. Enfin $\mathrm{Im}q=\mathrm{Ker}p$ : si $y=q(b)$, $p(y)=pq(b)=0$ ; si $p(y)=0$, $y=p(y)+q(y)=q(y)\in \mathrm{Im}q$. Ainsi $q=\mathrm{id}-p$ est le projecteur sur $\mathrm{Ker}p$ parallèlement à $\mathrm{Im}p$ : le projecteur complémentaire de $p$. Contrôle, dans ${\mathbb{R}}^2$ : $p(x,y)=(x,0)$ et $q(x,y)=(0,y)$ vérifient $p+q=\mathrm{id}$ et $pq=qp=0$.

Ce que l'exercice installe. Calculer avec des endomorphismes, c'est calculer sans commuter : on développe en gardant l'ordre, et l'on fait apparaître deux fois un terme gênant pour l'éliminer. Et l'égalité $p+q=\mathrm{id}$ est la traduction algébrique d'une décomposition en somme directe. En mécanique, décomposer une force selon deux directions — la pente et la normale d'un plan incliné — c'est appliquer deux projecteurs de somme l'identité ; la projection orthogonale du chapitre de géométrie en est le premier exemple, et la statique des sciences industrielles en fait un usage constant.