Paires et impaires : supplémentaires sans dimension

La stratégie. Deux sous-espaces sont supplémentaires si tout vecteur se décompose de manière unique en une somme d'un élément de chacun. En dimension infinie, le critère « intersection nulle et somme des dimensions » n'a pas de sens : on revient à la définition, par analyse-synthèse. L'analyse suppose la décomposition écrite et en déduit la seule forme possible — c'est l'unicité ; la synthèse vérifie que cette forme convient — c'est l'existence.

1) Les supplémentaires. Ce sont des sous-espaces : la fonction nulle est paire et impaire, et si $f$, $g$ sont paires et $\lambda$ réel, $(\lambda f+g)(-x)=\lambda f(x)+g(x)=(\lambda f+g)(x)$ ; même calcul, avec un signe, pour les impaires.

Analyse. Soit $f$ quelconque, et supposons $f=p+i$ avec $p$ paire et $i$ impaire. Pour tout réel $x$, $f(x)=p(x)+i(x)$ ; en remplaçant $x$ par $-x$ et en utilisant les parités, $f(-x)=p(x)-i(x)$. La somme et la différence de ces deux égalités donnent $$p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$ Ce sont les seules possibilités : la décomposition, si elle existe, est unique.

Synthèse. Définissons $p$ et $i$ par ces formules. Alors $p(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=p(x)$, $i(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-i(x)$, et $p(x)+i(x)=f(x)$. La décomposition existe. Donc $$\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\mathcal{P}\oplus \mathcal{I}.$$ Le parallèle matriciel. Toute matrice carrée s'écrit $A=\frac{A+A^{\top }}{2}+\frac{A-A^{\top }}{2}$, symétrique plus antisymétrique : c'est la même démonstration, avec la transposition à la place de $x\mapsto -x$. Dans les deux cas, une opération qui, appliquée deux fois, redonne l'identité sépare ce qu'elle fixe de ce qu'elle change en son opposé.

Le point délicat. L'intersection est nulle (une fonction paire et impaire vérifie $f(x)=-f(x)$, donc $f=0$), mais cela seul ne suffit pas ici : sans dimension, il faut aussi l'existence de la décomposition, que seule la synthèse fournit. Et la division par $2$ est licite parce que $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

2) Deux exemples. Pour l'exponentielle, les formules donnent $\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\mathrm{ch}x$ et $\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\mathrm{sh}x$ : la partie paire de l'exponentielle est le cosinus hyperbolique $\mathrm{ch}$, sa partie impaire le sinus hyperbolique $\mathrm{sh}$ — voilà d'où viennent ces fonctions. Le raisonnement ne demande que la division par $2$ et vaut donc dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ : pour $x\mapsto e^{ix}$, la partie paire est $\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x$ et la partie impaire $\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}=i\sin x$. On retrouve les formules d'Euler.

3) La famille trigonométrique. Supposons que, pour tout réel $x$, $$a_0+\sum _{k=1}^n\left(a_k\cos kx+b_k\sin kx\right)=0.$$ Le membre de gauche est la somme de la fonction paire $a_0+\sum a_k\cos kx$ et de la fonction impaire $\sum b_k\sin kx$. La fonction nulle se décompose en $0+0$, et la décomposition est unique : ces deux fonctions sont donc nulles. L'exercice 2, question 2, donne alors $a_0=a_1=\cdots =a_n=0$ par la liberté des cosinus, et $b_1=\cdots =b_n=0$ par celle des sinus. La famille est libre : elle engendre un sous-espace de dimension $2n+1$, celui des polynômes trigonométriques de degré au plus $n$.

Ce que l'exercice installe. L'analyse-synthèse est la méthode pour établir des supplémentaires quand on n'a pas de base sous la main — c'est-à-dire toujours en dimension infinie. Et l'unicité d'une décomposition en somme directe est un outil de preuve à part entière : elle sépare une relation en deux relations plus simples. En physique, la décomposition d'un signal en partie paire et partie impaire annonce les séries de Fourier : un signal pair ne contient que des cosinus, un signal impair que des sinus.