Sous-espace ou pas ?

Espaces vectoriels et applications linéaires · A. Espaces et sous-espaces vectoriels · niveau 1 (application)

Énoncé

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ?

$F_{1} = {(x, y, z) \in R^{3} : x + y - z = 0}, F_{2} = {(x, y) \in R^{2} : x y = 0},$

$F_{3} = {P \in R [X] : P (1) = 0}, F_{4} = {f \in F (R, R) : f (0) = 1} .$

Corrigé

$F_{1}$ : oui — c'est le noyau de l'application linéaire $(x, y, z) \mapsto x + y - z$ (contient $0$ , stable par $λ x + y$ ) : un plan vectoriel de $R^{3}$ (chapitre 9).

$F_{2}$ : non — $(1, 0)$ et $(0, 1)$ y sont, mais leur somme $(1, 1)$ non : la réunion des deux axes n'est pas stable.

$F_{3}$ : oui — noyau de l'application linéaire d'évaluation $P \mapsto P (1)$ , de $R [X]$ dans $R$ .

$F_{4}$ : non — la fonction nulle n'y est pas ( $0 \neq = 1$ ) : éliminatoire d'office.

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