Supplémentaires et décomposition

Intersection : si $t(1,1,1)\in F$, alors $3t=0$, donc $t=0$ : $F\cap G=\{0\}$. Dimensions : $\dim F=2$ (plan vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$, paramétré par $x=-y-z$ : deux paramètres) et $\dim G=1$, et $2+1=3=\dim {\mathbb{R}}^3$ : par la caractérisation dimensionnelle, ${\mathbb{R}}^3=F\oplus G$.

Décomposition : cherchons $v=f+t(1,1,1)$ avec $f\in F$. La somme des coordonnées de $f=v-t(1,1,1)$ doit être nulle : $(1+2+3)-3t=0$, donc $t=2$ et

$$(1,2,3)=\underset{\in F}{\underbrace{(-1,0,1)}}+\underset{\in G}{\underbrace{(2,2,2)}}.$$

(Le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$ est $v\mapsto \frac{x+y+z}{3}(1,1,1)$ : la moyenne des coordonnées.)