Un projecteur explicite

Stratégie : la définition d'abord, la géométrie ensuite. Un projecteur, c'est un endomorphisme égal à son carré ; on le vérifie par le calcul, puis on lit sur le noyau et l'image ce qu'il projette et dans quelle direction.

1) C'est bien un projecteur. L'application $p$ est linéaire : chaque coordonnée de l'image est une combinaison linéaire de $x$ et $y$. Calculons son carré. Posons $s=\frac{x+y}{2}$, de sorte que $p(x,y)=(s,s)$. Alors

$$p(p(x,y))=p(s,s)=\left(\frac{s+s}{2},\frac{s+s}{2}\right)=(s,s)=p(x,y).$$

Donc $p\circ p=p$ : $p$ est un projecteur.

2) Son image. Tout vecteur $p(x,y)=(s,s)$ est multiple de $(1,1)$, et réciproquement $p(t,t)=(t,t)$ : chaque vecteur de la droite $\mathrm{Vect}((1,1))$ est sa propre image. Donc

$$\mathrm{Im}p=\mathrm{Vect}((1,1))\text{— la premieˋre bissectrice.}$$

3) Son noyau. $p(x,y)=(0,0)$ équivaut à $x+y=0$, donc

$$\mathrm{Ker}p=\mathrm{Vect}((1,-1))\text{— la seconde bissectrice.}$$

4) La lecture géométrique. Le cours dit que pour un projecteur, $E=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Ker}p$, et que $p$ est la projection sur son image parallèlement à son noyau. Ici : la projection sur la première bissectrice, parallèlement à la seconde. Autrement dit, $p$ remplace les deux coordonnées par leur moyenne.

⚠️ Image et noyau ne jouent pas le même rôle, et l'ordre des mots compte. On projette sur l'image, parallèlement au noyau. Les échanger donnerait la projection sur la seconde bissectrice parallèlement à la première, c'est-à-dire $\mathrm{id}-p$, une tout autre application. Le repère mnémotechnique : sur l'image, $p$ ne fait rien ; sur le noyau, il écrase tout.

5) La symétrie associée. Le cours associe à tout projecteur la symétrie $s=2p-\mathrm{id}$. Ici

$$s(x,y)=\left(2\cdot \frac{x+y}{2}-x,2\cdot \frac{x+y}{2}-y\right)=(y,x):$$

c'est l'échange des coordonnées, c'est-à-dire la réflexion par rapport à la première bissectrice. Et l'on vérifie $s\circ s=\mathrm{id}$ : échanger deux fois ne fait rien.

Contrôle numérique. Prenons $v=(3,1)$. Alors $p(v)=(2,2)$, qui est bien sur la première bissectrice ; et $v-p(v)=(1,-1)$, qui est bien sur la seconde. La décomposition $(3,1)=(2,2)+(1,-1)$ est celle qu'annonce la somme directe. ✔ Enfin $s(v)=(1,3)$, le miroir de $(3,1)$. ✔

Ce que l'exercice installe. Un projecteur se reconnaît à l'identité $p^2=p$, et se décrit par deux sous-espaces : ce qu'il laisse fixe et ce qu'il annule. Toute la géométrie de l'endomorphisme tient dans ce couple, et la symétrie $2p-\mathrm{id}$ s'en déduit sans nouveau calcul.