$a$ sur la diagonale, $b$ partout ailleurs

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 13 — Déterminants · A. Calculs de déterminants

Énoncé

Soient $a, b \in K$ , $n \geq 2$ , et $M_{n} (a, b) \in M_{n} (K)$ la matrice dont les coefficients diagonaux valent $a$ et tous les autres $b$ .

1) Calculer $det M_{2} (a, b)$ et $det M_{3} (a, b)$ .

2) En effectuant $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n}$ , puis $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{1}$ pour $i \geq 2$ , montrer que $det M_{n} (a, b) = (a - b)^{n - 1} (a + (n - 1) b)$ .

3) À $b \neq = 0$ fixé, pour quelles valeurs de $a$ la matrice est-elle inversible ? Retrouver que $a 11 1 a 1 11 a$ est inversible si et seulement si $a \in / {1, - 2}$ .

4) En déduire $det J_{n}$ et $det (I_{n} + J_{n})$ , où $J_{n}$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$ .

Corrigé

La stratégie. Toutes les lignes de $M_{n} (a, b)$ ont la même somme, $s = a + (n - 1) b$ . C'est le signal : en ajoutant toutes les colonnes à la première, on fait apparaître une colonne constante, qu'on met en facteur ; le reste se triangularise en une seule vague de transvections.

1) Petites tailles. $det M_{2} = a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Pour $n = 3$ , la règle de Sarrus donne trois produits descendants $a^{3}$ , $b^{3}$ , $b^{3}$ et trois produits montants égaux à $a b^{2}$ : $det M_{3} = a^{3} - 3 a b^{2} + 2 b^{3}$ . Or $(a - b)^{2} (a + 2 b) = (a^{2} - 2 ab + b^{2}) (a + 2 b) = a^{3} - 3 a b^{2} + 2 b^{3}$ : les deux valeurs sont de la forme annoncée.

2) Le cas général. Première étape. $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n}$ ajoute à la première colonne une combinaison des autres : le déterminant est inchangé. Chaque coefficient de la nouvelle première colonne est la somme de sa ligne, $s$ . Par linéarité par rapport à la première colonne, on sort $s$ — et cette fois le déterminant change, le facteur doit être écrit : $det M_{n} (a, b) = s det N, N = 111 ⋮ 1 b a b ⋮ b b b a ⋱ \dots \dots \dots ⋱ ⋱ b b b ⋮ b a .$ Deuxième étape. Dans $N$ , les transvections $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{1}$ ( $i \geq 2$ ) ne changent pas le déterminant, qui vérifie vis-à-vis des lignes les mêmes propriétés que vis-à-vis des colonnes. Dans la ligne $i$ , le premier coefficient devient $1 - 1 = 0$ , le coefficient diagonal $a - b$ , tous les autres $b - b = 0$ . La matrice obtenue est triangulaire supérieure, de diagonale $1, a - b, \dots, a - b$ : $det M_{n} (a, b) = (a - b)^{n - 1} (a + (n - 1) b) .$

Le point délicat. Les deux gestes de la première étape sont de nature opposée : la somme des colonnes ne change rien, la mise en facteur de $s$ change le déterminant. Oublier d'écrire $s$ fait perdre tout un facteur, sans que rien ne le signale.

3) Inversibilité. $M_{n} (a, b)$ est inversible si et seulement si $a \neq = b$ et $a \neq = - (n - 1) b$ : à $b \neq = 0$ fixé, deux valeurs interdites. On les comprend : pour $a = b$ , la matrice est $b J_{n}$ , de rang $1$ ; pour $a = - (n - 1) b$ , toutes les lignes sont de somme nulle, et $(1, \dots, 1)^{⊤}$ est dans le noyau. La matrice $3 \times 3$ de l'énoncé est $M_{3} (a, 1)$ , de déterminant $(a - 1)^{2} (a + 2)$ : inversible si et seulement si $a \in / {1, - 2}$ .

4) Les matrices de uns. $J_{n} = M_{n} (1, 1)$ : $det J_{n} = 0^{n - 1} \times n = 0$ pour $n \geq 2$ , $J_{n}$ étant de rang $1$ . $I_{n} + J_{n} = M_{n} (2, 1)$ : $det (I_{n} + J_{n}) = 1^{n - 1} (2 + (n - 1)) = n + 1$ .

Ce que l'exercice installe. Quand toutes les lignes ont la même somme, le vecteur $(1, \dots, 1)^{⊤}$ est simplement multiplié par cette somme, et la somme des colonnes dans la première la fait sortir en facteur. C'est le premier réflexe devant un déterminant « plein » : chercher une combinaison de colonnes qui se simplifie avant de développer quoi que ce soit. La forme factorisée est la seule qui permette de lire d'un coup toutes les valeurs interdites du paramètre.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.

a sur la diagonale, b partout ailleurs

Énoncé

Corrigé

$a$ sur la diagonale, $b$ partout ailleurs