Aire orientée et échange

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PTSI), chapitre 13 — Déterminants · C. Géométrie et applications

Énoncé

Dans $R^{2}$ muni de la base canonique, calculer $det (u, v)$ pour $u = (3, 1)$ et $v = (1, 2)$ . Interpréter géométriquement le résultat, puis calculer $det (v, u)$ sans nouveau calcul.

Corrigé

On range les vecteurs en colonnes :

$det (u, v) = 3112 = 3 \times 2 - 1 \times 1 = 5.$

Le parallélogramme construit sur $u$ et $v$ a pour aire $5$ , et $det (u, v) > 0$ : la famille $(u, v)$ est dans le sens direct (trigonométrique). Échanger deux vecteurs change le signe du déterminant : $det (v, u) = - 5$ — même aire, orientation renversée.

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