Base ou pas ?

On range les vecteurs en colonnes et on calcule (développement première ligne) :

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=1\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|-0+1\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=1+1=2\ne 0:\text{base}.$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right|=1\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right|-0+1\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=-1+1=0:\text{lieˊe}.$$

On retrouve en deux lignes les conclusions du chapitre 11 — le déterminant est le test de base instantané ($n$ vecteurs en dimension $n$).