mathématiques (PTSI) · Chapitre 13 · Exercice de TD

Dériver un déterminant : la loi des aires et le wronskien

Déterminants · C. Géométrie et applications · niveau 2

Énoncé

On note $det$ le déterminant de la matrice dont les colonnes sont $u$ et $v$ , deux vecteurs de $R^{2}$ : $det (u, v) = u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}$ (le produit mixte du plan).

1) Soient $u, v : I \to R^{2}$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ (coordonnée par coordonnée). Montrer que $t \mapsto det (u (t), v (t))$ est dérivable, de dérivée $det (u^{'}, v) + det (u, v^{'})$ .

2) Loi des aires. Un point $M (t) = (x (t), y (t))$ , de coordonnées de classe $C^{2}$ , se déplace avec une accélération centrale : pour tout $t$ , $M^{''} (t)$ est colinéaire à $O M (t)$ . Montrer que $C = det (O M, M^{'}) = x y^{'} - y x^{'}$ est constante, et qu'en coordonnées polaires, $x = r cos θ$ et $y = r sin θ$ avec $r > 0$ et $θ$ dérivables, $C = r^{2} θ^{'}$ . Vérifier que, dans l'espace, $O M \land M^{'} = C k$ : $C$ est le moment cinétique par unité de masse. On admet que l'aire balayée par le segment $[O M]$ entre deux instants voisins est équivalente, quand leur écart $h$ tend vers $0$ , à l'aire du triangle formé par $O$ et les deux positions : montrer que l'aire du triangle $(O, M (t), M (t + h))$ vaut $\frac{∣ C ∣}{2} ∣ h ∣ + o (h)$ , et conclure.

3) Wronskien. Soient $a, b$ réels et $y_{1}, y_{2}$ deux solutions réelles de $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ . On pose $W = det ((y_{1}, y_{1}^{'}), (y_{2}, y_{2}^{'})) = y_{1} y_{2}^{'} - y_{1}^{'} y_{2}$ . Montrer que $W^{'} = - aW$ , puis que $W (x) = W (0) e^{- a x}$ : $W$ est identiquement nulle ou ne s'annule jamais.

4) Montrer que $(y_{1}, y_{2})$ est une base de l'espace des solutions si et seulement si $W (0) \neq = 0$ (le problème de Cauchy fait de $y \mapsto (y (0), y^{'} (0))$ un isomorphisme). Calculer $W$ pour $(x \mapsto e^{r_{1} x}, x \mapsto e^{r_{2} x})$ , où $r_{1} \neq = r_{2}$ sont des racines réelles de $r^{2} + a r + b$ , puis pour $(x \mapsto e^{- x} cos 2 x, x \mapsto e^{- x} sin 2 x)$ , solutions de $y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Le déterminant de deux vecteurs est bilinéaire : il se dérive donc comme un produit, un vecteur à la fois. Cette seule règle, appliquée à deux couples bien choisis, donne deux lois de conservation — l'une en mécanique, l'autre pour les équations différentielles.

1) La règle de dérivation. $det (u, v) = u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}$ est une combinaison de produits de fonctions dérivables, donc dérivable, et $(u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})^{'} = (u_{1}^{'} v_{2} - u_{2}^{'} v_{1}) + (u_{1} v_{2}^{'} - u_{2} v_{1}^{'}) = det (u^{'}, v) + det (u, v^{'}) .$ On dérive un vecteur à la fois, l'autre restant fixe — exactement comme $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour montrer que $C$ est constante, je dérive $x y^{'} - y x^{'}$ terme à terme : les termes $x^{'} y^{'}$ se compensent et il reste $x y^{''} - y x^{''}$ . Mais je ne vois pas pourquoi ce serait nul.

Plutôt que de raisonner en coordonnées, relis $x y^{''} - y x^{''}$ comme un déterminant de deux vecteurs : lesquels ? Et que dit l'hypothèse d'accélération centrale sur ces deux vecteurs ?

Élève

C'est $det (O M, M^{''})$ , et $M^{''}$ est colinéaire à $O M$ : les colonnes sont liées. La dérivée de $C$ s'annule donc sur tout l'intervalle.

Pour l'aire, l'énoncé la ramène à celle du triangle, moitié de $det (O M (t), O M (t + h))$ . Quel développement de $O M (t + h)$ à l'ordre $1$ en $h$ peux-tu y injecter, et que donne alors la linéarité du déterminant par rapport à la seconde colonne ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →