mathématiques (PTSI) · Chapitre 13 · Exercice de TD

Deux circuits couplés : pulsations propres et résonance

Déterminants · C. Géométrie et applications · niveau 2

Énoncé

Deux circuits identiques, comportant chacun une bobine d'inductance $L$ et un condensateur de capacité $C$ , sont couplés par une inductance mutuelle $M$ , avec $0 < M < L$ . Le premier contient un générateur sinusoïdal de pulsation $ω > 0$ , de force électromotrice d'amplitude complexe $E \neq = 0$ . En notation complexe, les intensités $I_{1}$ et $I_{2}$ vérifient $Z I_{1} + i M ω I_{2} = E, i M ω I_{1} + Z I_{2} = 0, o u ˋ Z = i (L ω - \frac{1}{C ω}) .$

1) Écrire ce système sous la forme $A (ω) (I_{1} I_{2}) = (E 0)$ et montrer que $det A (ω) = M^{2} ω^{2} - (L ω - \frac{1}{C ω})^{2}$ .

2) Régime libre ( $E = 0$ ). Montrer que le système admet une solution non nulle si et seulement si $ω = ω_{s} = \frac{1}{( L + M ) C}$ ou $ω = ω_{a} = \frac{1}{( L - M ) C}$ , et décrire les solutions dans chacun des deux cas.

3) Régime forcé. Pour $ω \in / {ω_{s}, ω_{a}}$ , montrer que le système a une unique solution, et la calculer (par l'inverse d'une matrice $2 \times 2$ — les formules de Cramer sont hors programme). Que se passe-t-il quand $ω$ tend vers $ω_{s}$ ou vers $ω_{a}$ ?

4) Pour $Z \neq = 0$ , montrer que $\frac{E}{I _{1}} = Z + \frac{M ^{2} ω ^{2}}{Z}$ : c'est l'impédance ramenée au premier circuit par le couplage. Que se passe-t-il pour $ω = ω_{0} = \frac{1}{L C}$ ?

5) On ajoute dans chaque circuit une résistance $R > 0$ , de sorte que $Z = R + i (L ω - \frac{1}{C ω})$ . Montrer que $det A (ω)$ ne s'annule pour aucun $ω > 0$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Un système linéaire carré a une solution unique si et seulement si sa matrice est inversible, c'est-à-dire si et seulement si son déterminant est non nul ; un système homogène a une solution non nulle exactement dans le cas contraire. Les pulsations remarquables du circuit sont donc les zéros d'un déterminant.

1) La matrice et son déterminant. $A (ω) = (Z i M ω i M ω Z), det A (ω) = Z^{2} - (i M ω)^{2} = Z^{2} + M^{2} ω^{2} .$ Notons $X = L ω - \frac{1}{C ω}$ , réel : $Z = i X$ , $Z^{2} = - X^{2}$ , et $det A (ω) = M^{2} ω^{2} - X^{2}$ , qui est réel.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Il y a une solution non nulle si et seulement si $det A (ω) = 0$ , c'est-à-dire $(L ω - \frac{1}{C ω})^{2} = M^{2} ω^{2}$ . En développant, j'obtiens une équation de degré $4$ en $ω$ qui me paraît compliquée.

Ne développe pas : une égalité entre deux carrés se scinde en deux équations plus simples. Lesquelles ? Et en multipliant chacune par $ω > 0$ , quelle équation en $ω^{2}$ obtiens-tu ?

Élève

$L ω - \frac{1}{C ω} = M ω$ ou $L ω - \frac{1}{C ω} = - M ω$ . La première donne $(L - M) ω^{2} = \frac{1}{C}$ , qui a une seule racine positive puisque $L - M > 0$ ; la seconde se traite de même avec $L + M$ .

Reste à décrire les solutions. En $ω_{s}$ , que vaut $Z$ en fonction de $M ω_{s}$ , et que devient alors la première équation du système ? Quel lien obtiens-tu entre $I_{1}$ et $I_{2}$ , et que signifie-t-il pour les deux courants ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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