Deux circuits couplés : pulsations propres et résonance

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 13 — Déterminants · C. Géométrie et applications

Énoncé

Deux circuits identiques, comportant chacun une bobine d'inductance $L$ et un condensateur de capacité $C$ , sont couplés par une inductance mutuelle $M$ , avec $0 < M < L$ . Le premier contient un générateur sinusoïdal de pulsation $ω > 0$ , de force électromotrice d'amplitude complexe $E \neq = 0$ . En notation complexe, les intensités $I_{1}$ et $I_{2}$ vérifient $Z I_{1} + i M ω I_{2} = E, i M ω I_{1} + Z I_{2} = 0, o u ˋ Z = i (L ω - \frac{1}{C ω}) .$

1) Écrire ce système sous la forme $A (ω) (I_{1} I_{2}) = (E 0)$ et montrer que $det A (ω) = M^{2} ω^{2} - (L ω - \frac{1}{C ω})^{2}$ .

2) Régime libre ( $E = 0$ ). Montrer que le système admet une solution non nulle si et seulement si $ω = ω_{s} = \frac{1}{( L + M ) C}$ ou $ω = ω_{a} = \frac{1}{( L - M ) C}$ , et décrire les solutions dans chacun des deux cas.

3) Régime forcé. Pour $ω \in / {ω_{s}, ω_{a}}$ , montrer que le système a une unique solution, et la calculer (par l'inverse d'une matrice $2 \times 2$ — les formules de Cramer sont hors programme). Que se passe-t-il quand $ω$ tend vers $ω_{s}$ ou vers $ω_{a}$ ?

4) Pour $Z \neq = 0$ , montrer que $\frac{E}{I _{1}} = Z + \frac{M ^{2} ω ^{2}}{Z}$ : c'est l'impédance ramenée au premier circuit par le couplage. Que se passe-t-il pour $ω = ω_{0} = \frac{1}{L C}$ ?

5) On ajoute dans chaque circuit une résistance $R > 0$ , de sorte que $Z = R + i (L ω - \frac{1}{C ω})$ . Montrer que $det A (ω)$ ne s'annule pour aucun $ω > 0$ .

Corrigé

La stratégie. Un système linéaire carré a une solution unique si et seulement si sa matrice est inversible, c'est-à-dire si et seulement si son déterminant est non nul ; un système homogène a une solution non nulle exactement dans le cas contraire. Les pulsations remarquables du circuit sont donc les zéros d'un déterminant.

1) La matrice et son déterminant. $A (ω) = (Z i M ω i M ω Z), det A (ω) = Z^{2} - (i M ω)^{2} = Z^{2} + M^{2} ω^{2} .$ Notons $X = L ω - \frac{1}{C ω}$ , réel : $Z = i X$ , $Z^{2} = - X^{2}$ , et $det A (ω) = M^{2} ω^{2} - X^{2}$ , qui est réel.

2) Le régime libre. Le système homogène a une solution non nulle si et seulement si $A (ω)$ n'est pas inversible, c'est-à-dire si et seulement si $det A (ω) = 0$ , soit $X = \pm M ω$ .

$X = - M ω$ s'écrit $(L + M) ω^{2} = \frac{1}{C}$ : avec $ω > 0$ , $ω = ω_{s} = \frac{1}{( L + M ) C}$ .
$X = M ω$ s'écrit $(L - M) ω^{2} = \frac{1}{C}$ , avec $L - M > 0$ : $ω = ω_{a} = \frac{1}{( L - M ) C}$ .

En $ω_{s}$ , $Z = - i M ω_{s}$ , et la première équation devient $- i M ω_{s} I_{1} + i M ω_{s} I_{2} = 0$ , soit $I_{2} = I_{1}$ ; la seconde est la même au signe près. Les solutions forment la droite engendrée par $(1, 1)$ : courants égaux, en phase — le mode symétrique. En $ω_{a}$ , $Z = i M ω_{a}$ et l'on obtient $I_{2} = - I_{1}$ : la droite engendrée par $(1, - 1)$ , courants en opposition de phase — le mode antisymétrique. Comme $L - M < L < L + M$ , on a $ω_{s} < ω_{0} < ω_{a}$ , où $ω_{0} = \frac{1}{L C}$ est la pulsation propre d'un circuit seul : le couplage dédouble la pulsation propre.

3) Le régime forcé. Pour $ω \in / {ω_{s}, ω_{a}}$ , $det A (ω) \neq = 0$ : $A (ω)$ est inversible, le système est de Cramer, et sa solution unique est $A (ω)^{- 1} (E 0)$ . La formule d'inversion des matrices $2 \times 2$ du chapitre sur les matrices donne $A (ω)^{- 1} = \frac{1}{det A ( ω )} (Z - i M ω - i M ω Z), I_{1} = \frac{Z E}{det A ( ω )}, I_{2} = \frac{- i M ω E}{det A ( ω )} .$ Quand $ω$ tend vers $ω_{s}$ ou $ω_{a}$ , le dénominateur, fonction continue de $ω$ , tend vers $0$ , tandis que les numérateurs tendent vers des limites non nulles — $Z$ tend vers $\mp i M ω \neq = 0$ , et $M ω E \neq = 0$ : $∣ I_{1} ∣$ et $∣ I_{2} ∣$ tendent vers $+ \infty$ . Les amplitudes divergent exactement aux pulsations propres : c'est la résonance, sans amortissement pour la limiter.

4) L'impédance ramenée. Pour $Z \neq = 0$ , $\frac{E}{I _{1}} = \frac{det A ( ω )}{Z} = \frac{Z ^{2} + M ^{2} ω ^{2}}{Z} = Z + \frac{M ^{2} ω ^{2}}{Z}$ : vu du générateur, le second circuit ajoute l'impédance $\frac{M ^{2} ω ^{2}}{Z}$ au premier. Pour $ω = ω_{0}$ , $Z = 0$ : la formule ne s'applique plus, mais le 3) donne $I_{1} = 0$ et $I_{2} = \frac{- i M ω _{0} E}{M ^{2} ω _{0}^{2}} = \frac{- i E}{M ω _{0}}$ . Le générateur ne débite aucun courant, alors que le second circuit est parcouru par un courant : la force électromotrice induite par le second circuit dans le premier, $i M ω_{0} I_{2} = E$ , compense exactement celle du générateur.

5) Avec des résistances. $det A (ω) = (R + i X)^{2} + M^{2} ω^{2} = (R^{2} - X^{2} + M^{2} ω^{2}) + 2 i R X$ . S'il était nul, sa partie imaginaire $2 R X$ le serait, donc $X = 0$ puisque $R > 0$ ; mais alors sa partie réelle vaudrait $R^{2} + M^{2} ω^{2} > 0$ . Contradiction : le déterminant ne s'annule jamais, le régime forcé existe et est unique pour toute pulsation, et la résonance est bornée par la dissipation.

Ce que l'exercice installe. Les pulsations propres d'un système linéaire couplé sont les valeurs qui annulent un déterminant : c'est là qu'existe un régime libre non nul, et c'est là que le régime forcé, partout ailleurs unique, diverge. La même idée décrit deux pendules couplés par un ressort, ou les modes d'une molécule ; c'est le cadre du couplage par inductance mutuelle du cours d'induction.

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