Deux obstructions de parité

La stratégie. Passer au déterminant : une relation entre matrices devient une équation entre nombres, où la taille $n$ apparaît en exposant, par $\det (\lambda A)={\lambda }^n\det A$. La parité de $n$ décide alors de tout.

1) Les matrices antisymétriques. Soit $A$ telle que $A^{\top }=-A$, de taille $n$ impaire : $$\det A=\det \left(A^{\top }\right)=\det (-A)=(-1{)}^n\det A=-\det A.$$ La première égalité est le théorème du cours sur la transposée ; la deuxième, l'hypothèse ; la troisième, $\det (\lambda A)={\lambda }^n\det A$ avec $\lambda =-1$ — le facteur $-1$ sort une fois de chacune des $n$ colonnes, par linéarité par rapport à chaque colonne ; la dernière utilise l'imparité. De $\det A=-\det A$ on tire $2\det A=0$, donc $\det A=0$ : $A$ n'est pas inversible. En taille $2$, $\det \left(\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right)=a^2$, non nul dès que $a\ne 0$ : une matrice antisymétrique non nulle de taille $2$ est inversible. En taille paire, la chaîne s'arrête à $\det A=\det A$ et ne dit rien : l'imparité était indispensable.

2) Les matrices de carré $-I_n$. Passons au déterminant : $(\det A{)}^2=\det (A^2)=\det (-I_n)=(-1{)}^n$. Or $A$ est à coefficients réels, donc $\det A$ est réel, et son carré est positif ou nul. Si $n$ était impair, on aurait $(\det A{)}^2=-1<0$ : impossible. Donc $n$ est pair. En taille $2$, la rotation d'un quart de tour $R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ vérifie $R(\frac{\pi }{2}{)}^2=R(\pi )=-I_2$ : deux quarts de tour font un demi-tour. En taille $n=2m$, définissons $A$ sur la base canonique par $A{e}_{2k-1}=e_{2k}$ et $A{e}_{2k}=-e_{2k-1}$ pour $k=1,\dots ,m$ — un quart de tour dans chacun des plans $\mathrm{Vect}(e_{2k-1},e_{2k})$. Alors $A^2{e}_{2k-1}=A{e}_{2k}=-e_{2k-1}$ et $A^2{e}_{2k}=-A{e}_{2k-1}=-e_{2k}$ : $A^2$ et $-I_n$ coïncident sur une base, donc $A^2=-I_n$. La condition « $n$ pair » est nécessaire et suffisante.

3) Sur $\mathbb{C}$. L'argument du 1) n'utilise que $\det A^{\top }=\det A$, $\det (-A)=(-1{)}^n\det A$ et $2\ne 0$ : il vaut mot pour mot dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. En revanche, $A=i{I}_n$ vérifie $A^2=-I_n$ pour tout $n$, impair compris. L'équation $(\det A{)}^2=(-1{)}^n$ reste vraie — ici $\det A=i^n$ —, mais l'étape « un carré est positif » est fausse pour un complexe : c'est là, et seulement là, que servait la réalité des coefficients.

Le point délicat. Les deux énoncés se ressemblent et ne reposent pas sur la même chose. Le premier repose sur « $x=-x$ entraîne $x=0$ », vrai dans $\mathbb{R}$ comme dans $\mathbb{C}$. Le second repose sur le signe d'un carré, une propriété de l'ordre des réels que $\mathbb{C}$ n'a pas. Savoir montrer l'étape qui utilise chaque hypothèse, c'est ce que demande la question 3).

Ce que l'exercice installe. Passer au déterminant donne des conditions nécessaires, où la dimension apparaît en exposant. Une matrice réelle de carré $-I_n$ est une « multiplication par $i$ » déguisée : on ne peut faire agir $i$ sur un espace réel que s'il est de dimension paire — le plan complexe est un plan. C'est ce quart de tour qu'on retrouve en électrocinétique : en notation complexe, dériver une grandeur sinusoïdale, c'est multiplier son amplitude complexe par $i\omega$, donc la faire tourner d'un quart de tour.