Du facteur de volume à l'élément de volume

La stratégie. Deux idées. La valeur absolue du déterminant d'un endomorphisme est son facteur de dilatation des aires et des volumes. Et une application non linéaire, sur un domaine très petit, se comporte comme sa partie linéaire — c'est ce que dit le développement limité à l'ordre $1$. Ensemble, elles donnent le facteur local de dilatation d'un changement de coordonnées.

Pourquoi le produit mixte le dit. Le carré unité construit sur $e_1,e_2$ a pour image le parallélogramme construit sur $u(e_1),u(e_2)$, dont l'aire est la valeur absolue du produit mixte $[u(e_1),u(e_2)]$, c'est-à-dire du déterminant de la matrice de colonnes $u(e_1),u(e_2)$ : c'est $|\det u|$. De même, le cube unité a pour image un parallélépipède de volume $|[u(\overrightarrow{ı}),u(\overrightarrow{ȷ}),u(\overrightarrow{k})]|=|\det u|$. Que le facteur soit le même pour tout domaine, et non seulement pour le carré ou le cube unité, c'est ce que l'énoncé admet.

1) Un endomorphisme du plan. $\det u=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=2-1=1$ : l'image du disque unité, une ellipse, a pour aire $\pi \times 1=\pi$. $u$ conserve les aires sans conserver les formes. Une rotation d'angle $\alpha$ a pour matrice $R(\alpha )$, de déterminant ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ : aires et orientation conservées. Une symétrie par rapport à une droite, parallèlement à une autre, a pour matrice $\mathrm{diag}(1,-1)$ dans une base adaptée ; le déterminant d'un endomorphisme ne dépendant pas de la base, il vaut $-1$ : les aires sont conservées, l'orientation est renversée.

2) L'élément d'aire en polaires. À $\theta$ fixé, $\Phi (r+\mathrm{d}r,\theta )-\Phi (r,\theta )=\mathrm{d}r(\cos \theta ,\sin \theta )$ exactement, $\Phi$ étant linéaire en $r$. À $r$ fixé, les développements limités $\cos (\theta +\mathrm{d}\theta )=\cos \theta -\mathrm{d}\theta \sin \theta +o(\mathrm{d}\theta )$ et $\sin (\theta +\mathrm{d}\theta )=\sin \theta +\mathrm{d}\theta \cos \theta +o(\mathrm{d}\theta )$ donnent $\Phi (r,\theta +\mathrm{d}\theta )-\Phi (r,\theta )=\mathrm{d}\theta (-r\sin \theta ,r\cos \theta )+o(\mathrm{d}\theta )$. Le premier est $\mathrm{d}r{\overrightarrow{u}}_r$, le second $r\mathrm{d}\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }$ au terme $o(\mathrm{d}\theta )$ près, avec les vecteurs de la base polaire du chapitre de géométrie. L'aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs est la valeur absolue de leur produit mixte, c'est-à-dire du déterminant de la matrice dont ils sont les colonnes ; par linéarité par rapport à chaque vecteur, $\mathrm{d}r$ et $\mathrm{d}\theta$ sortent : $$\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \left|\det \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)\right|=\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta (r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta )=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta .$$ Contrôle : l'image exacte du rectangle est un secteur de couronne, d'aire $\frac{1}{2}((r+\mathrm{d}r{)}^2-r^2)\mathrm{d}\theta =r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta +\frac{1}{2}(\mathrm{d}r{)}^2\mathrm{d}\theta$, dont le terme principal est bien $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$. Un petit rectangle loin de l'origine devient un secteur d'autant plus grand que $r$ est grand.

3) Les éléments de volume. Cylindriques. Les trois déplacements élémentaires sont, à l'ordre $1$, $\mathrm{d}r(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$, $\mathrm{d}\theta (-r\sin \theta ,r\cos \theta ,0)$ et $\mathrm{d}z(0,0,1)$. Le déterminant de ces trois vecteurs, sans les facteurs $\mathrm{d}r$, $\mathrm{d}\theta$, $\mathrm{d}z$ qui sortent par linéarité, se développe selon la dernière ligne $(0,0,1)$ : il vaut $1\times (r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta )=r$. D'où $\mathrm{d}V=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$. Sphériques. Faire varier $r$, puis $\theta$, puis $\phi$ déplace le point, à l'ordre $1$, de $\mathrm{d}ra$, $\mathrm{d}\theta b$ et $\mathrm{d}\phi c$, avec $$\begin{array}{rl}a& =(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta ),\\ b& =(r\cos \theta \cos \phi ,r\cos \theta \sin \phi ,-r\sin \theta ),\\ c& =(-r\sin \theta \sin \phi ,r\sin \theta \cos \phi ,0).\end{array}$$ Par linéarité, sortons $r$ de $b$ et $r\sin \theta$ de $c$ : $$\det (a,b,c)=r^2\sin \theta \left|\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \\ \cos \theta & -\sin \theta & 0\end{array}\right|.$$ Développons ce dernier déterminant selon la troisième ligne. Le coefficient $\cos \theta$, en position $(3,1)$, a pour cofacteur $+(\cos \theta {\cos }^2\phi +\cos \theta {\sin }^2\phi )=\cos \theta$ ; le coefficient $-\sin \theta$, en position $(3,2)$, a pour cofacteur $-(\sin \theta {\cos }^2\phi +\sin \theta {\sin }^2\phi )=-\sin \theta$ ; le troisième coefficient est nul. Le déterminant vaut ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, donc $$\det (a,b,c)=r^2\sin \theta ,\mathrm{d}V=r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi ,$$ positif puisque $\theta \in \left]0,\pi \right[$. Lecture géométrique : $a$, $b/r$ et $c/(r\sin \theta )$ sont unitaires et deux à deux orthogonaux ; le parallélépipède est un pavé droit d'arêtes $\mathrm{d}r$, $r\mathrm{d}\theta$ et $r\sin \theta \mathrm{d}\phi$, dont le volume est le produit.

4) Les points singuliers. Le facteur $r$ s'annule en $r=0$ : le vecteur $\mathrm{d}\theta (-r\sin \theta ,r\cos \theta )$ devient nul, faire varier $\theta$ ne déplace plus le point, et tous les $\theta$ donnent le même point, l'origine (ou un point de l'axe $Oz$ en cylindriques). En sphériques, $r^2\sin \theta$ s'annule aussi pour $\theta \in \{0,\pi \}$ : $c$ devient nul, et tous les $\phi$ donnent le même point de l'axe $Oz$ — les pôles. En ces points, deux vecteurs de déplacement sont liés, le parallélépipède est aplati, et le paramétrage n'est pas injectif : c'est pourquoi on se restreint à $r>0$ et $\theta \in \left]0,\pi \right[$.

Le point délicat. Le déterminant ne mesure pas l'aire d'un domaine courbe : il mesure celle d'un parallélogramme. Tout repose sur l'approximation du petit domaine par ce parallélogramme, que le développement limité justifie et que l'énoncé admet ; le contrôle par le secteur de couronne montre que l'erreur est d'ordre supérieur.

Ce que l'exercice installe. $|\det |$ est un facteur de dilatation ; combiné au développement limité à l'ordre $1$, il donne le facteur local d'un changement de coordonnées. Les éléments $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$, $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$ et $r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$ sont ceux de toute la physique et des sciences industrielles — masses, charges, flux, centres d'inertie, moments d'inertie d'un cylindre ou d'une sphère —, et ils viennent d'un déterminant, dont l'annulation signale les points où les coordonnées cessent d'être de bonnes coordonnées.