Par échelonnement

Les transvections ne changent pas le déterminant :

$$\det A\underset{L_3\leftarrow L_3-L_1}{\overset{L_2\leftarrow L_2-L_1}{\to }}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right|\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=1.$$

$\det A=1\ne 0$ : $A$ est inversible — c'est précisément la matrice inversée par la méthode de Gauss-Jordan au chapitre 7 ; le déterminant confirme l'inversibilité en trois transvections.