Trois points alignés, deux multiplications

Stratégie : traduire « alignés » en « famille liée », puis appliquer la caractérisation des bases. L'alignement est une propriété géométrique ; la liaison d'une famille est une propriété algébrique ; le déterminant est le pont entre les deux, et il est parfait en dimension deux.

1) Le dictionnaire. Dire que $A$, $B$, $C$ sont alignés, c'est dire qu'ils appartiennent à une même droite, c'est-à-dire que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire que la famille $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ est liée.

2) La caractérisation. Le plan est de dimension $2$ et l'on regarde une famille de $2$ vecteurs. Le cours dit qu'une telle famille est une base si et seulement si son déterminant est non nul ; et une famille de deux vecteurs dans un plan est une base si et seulement si elle est libre. En niant les deux membres :

$$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\text{lieˊe}⟺\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=0,$$

ce qui est exactement l'énoncé.

⚠️ Le point délicat est le cas dégénéré $A=B$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est alors nul, le déterminant aussi, et le critère annonce l'alignement — à raison, puisque deux points confondus et un troisième sont toujours sur une droite commune. Un critère se juge à ses cas limites : celui-ci les traite correctement, sans clause supplémentaire.

3) Interprétation par les aires. Ce déterminant est le produit mixte $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$ du chapitre 9, c'est-à-dire l'aire orientée du parallélogramme construit sur les deux vecteurs, donc le double de l'aire du triangle $ABC$. Le critère dit alors quelque chose d'évident dès qu'on le formule ainsi : trois points sont alignés exactement quand le triangle qu'ils portent est d'aire nulle, c'est-à-dire aplati.

4) Application numérique. Avec $A(1,2)$, $B(3,5)$ et $C(7,11)$ :

$$\overrightarrow{AB}=(2,3),\overrightarrow{AC}=(6,9),\det =\left|\begin{array}{cc}2& 6\\ 3& 9\end{array}\right|=2\times 9-3\times 6=18-18=0.$$

Les trois points sont alignés. On le voit d'ailleurs à l'œil nu une fois le calcul fait : $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$, le point $C$ est trois fois plus loin que $B$ dans la même direction.

Contrôle numérique par un point déplacé. Remplaçons $C$ par $C^{\prime }(7,12)$. Alors $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(6,10)$ et le déterminant vaut $2\times 10-3\times 6=2\ne 0$ : les points ne sont plus alignés, et le triangle $AB{C}^{\prime }$ a pour aire $\frac{2}{2}=1$. Le critère distingue donc bien les deux configurations, ce qu'un critère qui répondrait toujours zéro ne ferait pas. ✔

Et l'équation de la droite, en prime. Un point $M(x,y)$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si $\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}\right)=0$, soit $2(y-2)-3(x-1)=0$, c'est-à-dire $3x-2y+1=0$. On vérifie sur les trois points : pour $A$, $3-4+1=0$ ; pour $B$, $9-10+1=0$ ; pour $C$, $21-22+1=0$. ✔

Ce que l'exercice installe. Le déterminant fournit un test d'alignement en deux multiplications et une soustraction, sans coefficient directeur, donc sans cas particulier pour les droites verticales — un avantage décisif dès qu'on programme le calcul.