Trois propriétés forcent la règle de Sarrus : le produit mixte est le déterminant

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Au 1), les trois propriétés de $f$, et rien d'autre. Au 2), ce que le chapitre de géométrie énonce du produit mixte $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}$ : linéaire en chacun de ses vecteurs, changé en son opposé quand on en échange deux ; et $\overrightarrow{ı}\wedge \overrightarrow{ȷ}=\overrightarrow{k}$ en base orthonormée directe. Aux 3) et 4), les propriétés du déterminant établies dans le cours.

La stratégie. On écrit chaque colonne sur les colonnes $E_1,E_2,E_3$ de l'identité, on développe par linéarité colonne par colonne, et l'on laisse l'antisymétrie éliminer presque tous les termes. Ce qui survit ne dépend plus que de $f(I_3)=1$ : $f$ est entièrement déterminée. Pour l'existence, on exhibe un objet qui possède les trois propriétés : le produit mixte.

1) a) Deux colonnes égales. Si les colonnes d'indices $p\ne q$ de $A$ sont égales, échanger ces deux colonnes ne change pas la matrice, mais change le signe de $f$ par antisymétrie : $f(A)=-f(A)$, donc $2f(A)=0$, et $f(A)=0$ puisque $2\ne 0$ dans $\mathbb{K}$.

1) b) Le développement. La première colonne s'écrit $C_1=a_{1,1}{E}_1+a_{2,1}{E}_2+a_{3,1}{E}_3$. Par linéarité par rapport à la première colonne, les deux autres étant fixées, $$f(C_1\mid C_2\mid C_3)=\sum _{i=1}^3{a}_{i,1}f(E_i\mid C_2\mid C_3).$$ On recommence dans chacun des trois termes avec la deuxième colonne, $C_2={\sum }_j{a}_{j,2}{E}_j$, puis avec la troisième, $C_3={\sum }_k{a}_{k,3}{E}_k$ : $$f(A)=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{a}_{i,1}{a}_{j,2}{a}_{k,3}f(E_i\mid E_j\mid E_k),$$ soit $3\times 3\times 3=27$ termes. Les termes nuls. D'après a), $f(E_i\mid E_j\mid E_k)=0$ dès que deux des indices $i$, $j$, $k$ sont égaux. Il reste les triplets d'indices deux à deux distincts : $3$ choix pour $i$, puis $2$ pour $j$, puis $1$ pour $k$ — six termes. Leurs valeurs. $f(E_1\mid E_2\mid E_3)=f(I_3)=1$. Pour $(E_2\mid E_1\mid E_3)$, $(E_3\mid E_2\mid E_1)$ et $(E_1\mid E_3\mid E_2)$, un seul échange de deux colonnes ramène à $I_3$ : chacun vaut $-1$. Pour $(E_2\mid E_3\mid E_1)$, échanger les colonnes $1$ et $3$ donne $(E_1\mid E_3\mid E_2)$, puis échanger les colonnes $2$ et $3$ donne $I_3$ : deux échanges, donc la valeur $(-1{)}^2=1$. De même pour $(E_3\mid E_1\mid E_2)$ : échanger les colonnes $1$ et $2$ donne $(E_1\mid E_3\mid E_2)$, puis les colonnes $2$ et $3$ donnent $I_3$ : valeur $1$. D'où $$f(A)=a_{1,1}{a}_{2,2}{a}_{3,3}+a_{2,1}{a}_{3,2}{a}_{1,3}+a_{3,1}{a}_{1,2}{a}_{2,3}-a_{2,1}{a}_{1,2}{a}_{3,3}-a_{3,1}{a}_{2,2}{a}_{1,3}-a_{1,1}{a}_{3,2}{a}_{2,3}.$$ C'est la règle de Sarrus : trois produits « descendants » comptés positivement, trois produits « montants » comptés négativement. Deux applications vérifiant les trois propriétés prennent donc la même valeur sur toute matrice : il en existe au plus une.

Le point délicat. Ce calcul dit ce que vaudrait $f$ si elle existait ; il ne prouve pas qu'elle existe. On a choisi une suite d'échanges pour ramener chaque $(E_i\mid E_j\mid E_k)$ à $I_3$ ; si une autre suite d'échanges pouvait donner le signe opposé, les trois propriétés seraient contradictoires et aucune $f$ n'existerait. C'est l'existence, question suivante, qui écarte ce scénario.

2) Existence : le produit mixte. Posons $g(C_1\mid C_2\mid C_3)=[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]$. Linéarité par rapport à chaque colonne. Si la première colonne est $\lambda C+\mu C^{\prime }$, le premier vecteur est $\lambda \overrightarrow{u}+\mu {\overrightarrow{u}}^{\prime }$, et la linéarité du produit mixte en son premier vecteur donne $g=\lambda [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]+\mu [{\overrightarrow{u}}^{\prime },\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]$ ; de même pour les deux autres colonnes. Antisymétrie. Échanger deux colonnes, c'est échanger deux vecteurs, ce qui change le signe du produit mixte. Valeur sur $I_3$. Les colonnes de $I_3$ sont les coordonnées de $\overrightarrow{ı}$, $\overrightarrow{ȷ}$, $\overrightarrow{k}$ ; la base étant orthonormée directe, $\overrightarrow{ı}\wedge \overrightarrow{ȷ}=\overrightarrow{k}$, et $g(I_3)=(\overrightarrow{ı}\wedge \overrightarrow{ȷ})\cdot \overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{k}=1$. L'application $g$ vérifie les trois propriétés : une telle application existe, et, d'après le 1), elle est donnée par la règle de Sarrus. C'est le déterminant : $$[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=\det (C_1\mid C_2\mid C_3).$$ Contrôle : l'expression du produit mixte en base orthonormée directe que donne le chapitre de géométrie, $x^{\prime \prime }(y{z}^{\prime }-z{y}^{\prime })+y^{\prime \prime }(z{x}^{\prime }-x{z}^{\prime })+z^{\prime \prime }(x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime })$, redonne, une fois développée, les six termes de la règle de Sarrus. Le programme de PTSI ne déclare la démonstration du théorème d'existence et d'unicité hors programme que pour $n\ge 4$ : pour $n=3$, elle est faite.

3) Calculer sans coefficients. a) Dans $(C_2\mid C_3\mid C_1)$, échangeons les colonnes $1$ et $3$ : on obtient $(C_1\mid C_3\mid C_2)$ et un signe $-$ ; échangeons ensuite les colonnes $2$ et $3$ : on obtient $(C_1\mid C_2\mid C_3)$ et un second signe $-$. Donc $\det (C_2\mid C_3\mid C_1)=\det (C_1\mid C_2\mid C_3)$ : c'est l'invariance du produit mixte par permutation circulaire. b) Développons par linéarité par rapport à chaque colonne : $2\times 2\times 2=8$ termes $\det (X\mid Y\mid Z)$, avec $X\in \{C_1,C_2\}$, $Y\in \{C_2,C_3\}$ et $Z\in \{C_3,C_1\}$. Un terme dont deux colonnes sont égales est nul. Si $X=C_1$, alors $Z=C_3$, sinon $C_1$ serait répétée, puis $Y=C_2$, sinon $C_3$ serait répétée : il reste $\det (C_1\mid C_2\mid C_3)$. Si $X=C_2$, alors $Y=C_3$, puis $Z=C_1$ : il reste $\det (C_2\mid C_3\mid C_1)$. D'après a), $$\det (C_1+C_2\mid C_2+C_3\mid C_3+C_1)=\det (C_1\mid C_2\mid C_3)+\det (C_2\mid C_3\mid C_1)=2\det (C_1\mid C_2\mid C_3).$$ La base. Trois vecteurs forment une base de l'espace si et seulement si la matrice de leurs coordonnées est inversible (chapitre sur les matrices), c'est-à-dire si et seulement si son déterminant est non nul. Si $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ est une base, $\det (C_1\mid C_2\mid C_3)\ne 0$, donc le déterminant de la famille $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w},\overrightarrow{w}+\overrightarrow{u})$, qui vaut le double, est non nul : c'est une base. En dimension $2$, au contraire, $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u})$ a deux vecteurs égaux et n'est jamais une base : le facteur $2$ est propre à la dimension impaire. c) La somme des trois colonnes est nulle : $(C_1-C_2)+(C_2-C_3)+(C_3-C_1)=0$. La troisième colonne est donc combinaison linéaire des deux autres, $C_3-C_1=-(C_1-C_2)-(C_2-C_3)$ : les colonnes sont liées et le déterminant est nul. Géométriquement, $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{w}-\overrightarrow{u}$ sont coplanaires.

4) Un calcul par opérations sur les colonnes. On range les coordonnées en colonnes : $$[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 2& 1& 5\\ 1& 0& 2\end{array}\right|.$$ Cherchons une combinaison $C_3-\lambda C_1-\mu C_2$ dont les coefficients s'annulent : sur la troisième ligne, où $C_2$ porte un $0$, il faut $2-\lambda =0$, soit $\lambda =2$ ; sur la première ligne, il faut alors $4-2-2\mu =0$, soit $\mu =1$. Effectuons donc $C_3\leftarrow C_3-2C_1-C_2$, qui ajoute à $C_3$ une combinaison des autres colonnes et laisse donc le déterminant inchangé : la nouvelle troisième colonne vaut $(4-2-2,5-4-1,2-2-0)=(0,0,0)$. Une matrice à colonne nulle a un déterminant nul : $$[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=0.$$ Le produit mixte est le volume orienté du parallélépipède construit sur les trois vecteurs : il est nul, les trois vecteurs sont coplanaires. Et l'opération effectuée se lit comme une relation : $\overrightarrow{w}-2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, soit $$\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.$$ Contrôles. Par la règle de Sarrus : $2+0+10-8-4-0=0$ ; par le produit vectoriel, $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=(-1,2,-3)$ et $(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}=-4+10-6=0$.

Le point délicat. Un déterminant nul prouve qu'une relation de dépendance existe, il ne la donne pas : c'est l'opération sur les colonnes, choisie pour faire apparaître une colonne nulle, qui l'écrit.

Ce que l'exercice installe. Un objet défini par ses propriétés se calcule par elles : la linéarité développe, l'antisymétrie élimine, la normalisation fixe la valeur. Le déterminant n'est pas un objet nouveau tombé du ciel : en dimension $3$, c'est le produit mixte du chapitre de géométrie, le volume orienté d'un parallélépipède — nul exactement quand les vecteurs sont coplanaires. En mécanique et en sciences industrielles, le même produit mixte donne le moment d'une force par rapport à un axe ; savoir le calculer par opérations sur les colonnes, sans développer, fait gagner du temps et des erreurs de signe.