Un carré égal à moins l'identité

Stratégie : prendre le déterminant d'une identité matricielle, puis raisonner sur un signe. L'hypothèse est une égalité entre matrices ; le déterminant la transforme en une égalité entre nombres réels, où une impossibilité de signe apparaît.

1) Passage au déterminant. De $A^2=-I_n$ et de la multiplicativité :

$$(\det A{)}^2=\det \left(A^2\right)=\det \left(-I_n\right)=(-1{)}^n\det (I_n)=(-1{)}^n.$$

2) L'argument de signe. Le nombre $\det A$ est réel, puisque $A$ est à coefficients réels ; son carré est donc positif ou nul. Si $n$ était impair, on aurait $(\det A{)}^2=-1<0$ : impossible. Donc

$$\boxed{n\text{ est pair.}}$$

⚠️ Le point délicat est le mot « réelle », qui est toute la démonstration. Sur $\mathbb{C}$ l'argument s'effondre : la matrice d'ordre $1$ réduite au seul coefficient $i$ vérifie $A^2=-I_1$ avec $n=1$ impair, et son déterminant vaut $i$, dont le carré est bien $-1$. Le carré d'un complexe n'est pas tenu d'être positif. Ce n'est donc pas un théorème d'algèbre linéaire générale, mais un théorème sur les réels.

3) L'exemple en dimension deux. La rotation d'un quart de tour :

$$R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),R^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_2.$$

Rien d'étonnant : composer deux quarts de tour donne un demi-tour, c'est-à-dire l'opposé de l'identité.

Et en toute dimension paire. Il suffit de juxtaposer des blocs de rotation. En dimension $2m$, la matrice diagonale par blocs formée de $m$ copies de $R$ vérifie encore que son carré vaut $-I_{2m}$ : la condition « $n$ pair » n'est pas seulement nécessaire, elle est suffisante.

Contrôle numérique. Vérification du produit ligne par colonne : le coefficient en haut à gauche de $R^2$ vaut $0\times 0+(-1)\times 1=-1$, celui en haut à droite $0\times (-1)+(-1)\times 0=0$, et de même en bas. Son déterminant vaut $0\times 0-(-1)\times 1=1$, et $1^2=(-1{)}^2$ : l'égalité du premier point est bien satisfaite. ✔

Ce que l'exercice installe. Une matrice réelle de carré $-I_n$ fait jouer à un espace réel le rôle de la multiplication par $i$. Le résultat dit alors que $\mathbb{C}$ ne peut habiter qu'un espace réel de dimension paire — le plan complexe est un plan, et cela se démontre en trois lignes de déterminant.