Une matrice entière d'inverse entière

Stratégie : arithmétique dans une égalité de déterminants. Deux ingrédients, et deux seulement. D'abord, le déterminant d'une matrice à coefficients entiers est un entier. Ensuite, le déterminant est multiplicatif. Leur rencontre transforme la question en une équation entre deux entiers.

1) Le déterminant d'une matrice entière est entier. Le développement selon une ligne exprime le déterminant comme une somme de produits de coefficients de la matrice, affectés de signes. Si tous les coefficients sont entiers, chaque produit est entier et la somme aussi. Donc $\det A$ est un entier ; et comme $A^{-1}$ est également à coefficients entiers par hypothèse, $\det \left(A^{-1}\right)$ en est un aussi.

2) L'équation. De $A{A}^{-1}=I_n$ on tire, par multiplicativité :

$$\det (A)\times \det \left(A^{-1}\right)=\det (I_n)=1.$$

3) La conclusion, par les valeurs absolues. Les deux facteurs sont des entiers non nuls, donc leurs valeurs absolues sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à $1$ :

$$\left|\det A\right|\ge 1,\left|\det \left(A^{-1}\right)\right|\ge 1,\left|\det A\right|\times \left|\det \left(A^{-1}\right)\right|=1.$$

Si l'on avait $\left|\det A\right|\ge 2$, le produit serait supérieur ou égal à $2$ : impossible. Donc $\left|\det A\right|=1$, c'est-à-dire

$$\boxed{\det A=1\text{ou}\det A=-1.}$$

⚠️ Le point délicat est l'endroit exact où l'hypothèse « l'inverse est entier » sert. Sans elle, l'égalité $\det A\times \det \left(A^{-1}\right)=1$ resterait vraie, mais elle dirait seulement que $\det A$ est un rationnel non nul — ce qui n'exclut rien. C'est le caractère entier de $\det \left(A^{-1}\right)$ qui referme le piège, en interdisant au second facteur de valoir $\frac{1}{2}$ ou $\frac{1}{3}$.

Contrôle numérique sur deux matrices d'ordre deux. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, on a $\det A=1$, et la formule d'inversion d'ordre deux du chapitre 7 donne $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, qui est bien entière. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, le déterminant vaut $2$ : l'inverse est $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, dont un coefficient n'est pas entier — l'hypothèse tombe dès que le déterminant sort de $\{1,-1\}$. ✔

Ce que l'exercice installe. Les matrices entières d'inverse entière forment un ensemble stable par produit et par inversion, caractérisé par un déterminant valant $1$ ou $-1$. C'est l'objet qui gouverne les changements de repère dans les réseaux de points à coordonnées entières, en cristallographie comme en théorie des nombres : deux repères décrivent le même réseau exactement quand la matrice de passage a un déterminant de valeur absolue $1$.