La chaîne de Markov météo

Stratégie : les probabilités totales transforment une description conditionnelle en une relation de récurrence. L'énoncé ne donne que des probabilités conditionnelles ; la formule des probabilités totales est exactement l'outil qui les recolle en une probabilité absolue.

1) La récurrence. Notons $B_n$ l'événement « il fait beau au jour $n$ », de probabilité $p_n$. Le couple $\left(B_n,\overline{B_n}\right)$ est un système complet d'événements : ces deux-là sont incompatibles et leur réunion est l'univers. La formule des probabilités totales donne

$$p_{n+1}=P(B_{n+1}\mid B_n)P(B_n)+P(B_{n+1}\mid \overline{B_n})P\left(\overline{B_n}\right)=0,9p_n+0,5(1-p_n),$$

soit, en regroupant,

$$\boxed{p_{n+1}=0,4p_n+0,5.}$$

⚠️ Le point délicat est le choix du système complet : on conditionne par le temps qu'il fait le jour $n$, c'est-à-dire par le passé immédiat, jamais par le jour initial. C'est la propriété qui définit une chaîne de Markov : la loi de demain ne dépend que d'aujourd'hui, et non de toute l'histoire. Conditionner par $B_0$ ne mènerait nulle part.

2) La limite. La suite est arithmético-géométrique : c'est le schéma du chapitre 5. On cherche d'abord le point fixe $\ell$ de la relation :

$$\ell =0,4\ell +0,5⟺0,6\ell =0,5⟺\ell =\frac{5}{6}.$$

En retranchant cette égalité de la relation de récurrence :

$$p_{n+1}-\frac{5}{6}=0,4\left(p_n-\frac{5}{6}\right),$$

donc la suite $\left(p_n-\frac{5}{6}\right)$ est géométrique de raison $0,4$. Comme $|0,4|<1$, elle tend vers $0$ et

$$\boxed{p_n\underset{n\to \infty }{\to }\frac{5}{6}\approx 0,8333.}$$

3) Ce que dit la limite, et ce qu'elle ne dit pas. Le climat se stabilise : à long terme, il fait beau cinq jours sur six. Et cette limite ne dépend pas du temps qu'il faisait au départ : la mémoire de la condition initiale s'efface, l'écart à $\frac{5}{6}$ étant multiplié par $0,4$ chaque jour, c'est-à-dire divisé par deux et demi.

Contrôle numérique, dans les deux sens. Partons d'un jour de pluie, $p_0=0$ : la suite donne $0,5$, puis $0,7$, puis $0,78$, puis $0,812$, puis $0,8248$ — elle monte vers $0,8333$ ✓. Partons d'un jour de beau temps, $p_0=1$ : on obtient $0,9$, puis $0,86$, puis $0,844$ — elle descend vers la même valeur ✓. Et l'on vérifie que $\frac{5}{6}$ est bien invariant : $0,4\times \frac{5}{6}+0,5=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$ ✓.

Ce que l'exercice installe. Le pont entre trois chapitres : la formule des probabilités totales fabrique la récurrence, l'étude des suites arithmético-géométriques la résout, et le calcul matriciel dirait la même chose en écrivant la matrice de transition, dont l'étude fine relève de la deuxième année. C'est le premier modèle d'évolution aléatoire, et le plus simple des modèles de diffusion, de file d'attente ou de classement de pages web.