La somme de deux dés n'est pas binomiale

Stratégie : par l'absurde, en confrontant les valeurs extrêmes. Pour réfuter qu'une variable suive une loi donnée, il suffit d'une seule valeur qui ne colle pas. On choisit les plus contraintes, c'est-à-dire les extrémités du support, car leurs probabilités s'expriment le plus simplement.

1) Le seul candidat possible. La variable $S$ prend ses valeurs dans $\{2,3,\dots ,12\}$, donc $S-2$ prend les siennes dans $\{0,1,\dots ,10\}$ — et elle les prend toutes, avec une probabilité strictement positive. Or une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ avec $0<p<1$ a pour support exactement $\{0,1,\dots ,n\}$. Le seul candidat est donc $S-2\sim \mathcal{B}(10,p)$.

⚠️ Le point délicat est de justifier ce cadrage avant tout calcul. Sans lui, on ne saurait pas quel $n$ tester, et « la somme suit-elle une binomiale » n'aurait pas de sens précis. Les cas $p=0$ et $p=1$ sont d'ailleurs à écarter tout de suite : ils donnent une variable constante, ce que $S$ n'est manifestement pas.

2) La contradiction, par les deux extrémités. La loi de $S$ se lit sur les $36$ issues équiprobables du couple de dés :

$$P(S=2)=P(\{(1,1)\})=\frac{1}{36},P(S=12)=P(\{(6,6)\})=\frac{1}{36}.$$

Si $S-2$ suivait $\mathcal{B}(10,p)$, on aurait

$$P(S=2)=(1-p{)}^{10}=\frac{1}{36}\text{et}P(S=12)=p^{10}=\frac{1}{36}.$$

De $p^{10}=(1-p{)}^{10}$ avec $p$ et $1-p$ tous deux dans $[0,1]$, on tire $p=1-p$, c'est-à-dire $p=\frac{1}{2}$. Mais alors

$$p^{10}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\frac{1}{1024}\ne \frac{1}{36}:$$

contradiction. La somme de deux dés ne suit donc aucune loi binomiale.

3) Une seconde réfutation, indépendante de la première. Comparons une autre valeur. On a $P(S=3)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\approx 0,0556$, alors que $\mathcal{B}\left(10,\frac{1}{2}\right)$ donnerait $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\frac{10}{1024}\approx 0,0098$ ✓ — un facteur cinq et demi d'écart, sur une valeur qui n'est pas extrême.

Le contrôle visuel qui explique tout. Voici les deux lois, exprimées avec un dénominateur commun à chacune :

• loi de $S$, sur $36$ : $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$ — un triangle ;
• loi $\mathcal{B}\left(10,\frac{1}{2}\right)$, sur $1024$ : $1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1$ — une cloche.

Les deux sont symétriques et culminent au centre, mais la première monte linéairement quand la seconde monte à coups de coefficients binomiaux. Symétrie et unimodalité ne font pas une binomiale.

La raison profonde. Une binomiale est une somme de variables de Bernoulli indépendantes, c'est-à-dire de variables à deux valeurs. Ici $S=X+Y$ où $X$ et $Y$ sont uniformes sur six valeurs : ce ne sont pas des Bernoulli, et rien ne garantit que leur somme soit binomiale. En revanche, la somme de deux binomiales indépendantes et de même paramètre $p$ est bien binomiale — parce que là, on peut revenir aux Bernoulli et concaténer les expériences.

Ce que l'exercice installe. Pour réfuter une loi, on teste quelques valeurs bien choisies, en commençant par les extrémités du support : ce sont les plus contraintes. Et l'on retient la mise en garde : ce n'est pas la forme d'un histogramme qui identifie une loi, c'est le mécanisme qui l'engendre.