Le collectionneur, version espérance

Stratégie : écrire le compteur comme une somme d'indicatrices, puis appliquer la linéarité. C'est l'arme absolue du calcul d'espérance : elle évite entièrement la détermination de la loi de $N$, qui serait ici pénible.

1) La décomposition. Pour chaque face $i$ de $1$ à $6$, notons $A_i$ l'événement « la face $i$ apparaît au moins une fois au cours des $n$ lancers ». Le nombre de faces distinctes apparues est exactement le nombre d'événements $A_i$ réalisés :

$$N=\sum _{i=1}^6{1}_{A_i}.$$

2) La probabilité de chaque événement. Passons au contraire : $\overline{A_i}$ signifie que la face $i$ n'est sortie à aucun des $n$ lancers. Les lancers étant indépendants et chacun évitant la face $i$ avec probabilité $\frac{5}{6}$ :

$$P\left(\overline{A_i}\right)={\left(\frac{5}{6}\right)}^n,\text{donc}P(A_i)=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n.$$

3) L'espérance. Le pont fondamental $E\left(1_A\right)=P(A)$, puis la linéarité de l'espérance, donnent

$$E(N)=\sum _{i=1}^{6}P(A_i)=\boxed{6\left(1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n\right).}$$

⚠️ Le point délicat est la place exacte de l'indépendance, et elle n'est pas où on l'attend. Les six événements $A_i$ ne sont pas indépendants entre eux : si cinq faces sont absentes, la sixième est nécessairement sortie. Cela n'a aucune importance, car la linéarité de l'espérance ne réclame aucune hypothèse. L'indépendance ne sert qu'à l'étape précédente, pour calculer $P\left(\overline{A_i}\right)={\left(\frac{5}{6}\right)}^n$ : elle porte sur les lancers, pas sur les faces.

Pourquoi cette méthode et pas une autre. Déterminer la loi de $N$ — c'est-à-dire $P(N=k)$ pour $k$ de $1$ à $6$ — demanderait de compter les surjections d'un ensemble à $n$ éléments sur un ensemble à $k$ éléments, un dénombrement nettement plus lourd. Les indicatrices court-circuitent tout cela : trois lignes suffisent.

Contrôles. Pour $n=1$, la formule donne $6\left(1-\frac{5}{6}\right)=1$ ✓ : un seul lancer montre exactement une face. Pour $n=6$, elle donne

$$6\left(1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^6\right)=\frac{31031}{7776}\approx 3,991,$$

et un dénombrement exhaustif des $6^6=46656$ suites de six lancers, avec comptage du nombre de faces distinctes dans chacune, redonne exactement cette fraction ✓. Pour $n=20$, on obtient $5,843$, et lorsque $n$ tend vers l'infini l'espérance tend vers $6$ ✓ : à force de lancer, on finit par tout voir.

Ce que l'exercice installe. La stratégie « compteur égale somme d'indicatrices, puis linéarité » est la même qui donnait une espérance de $1$ point fixe pour une permutation aléatoire, et qui donnera l'espérance du nombre d'arêtes d'un graphe aléatoire. Retenir la formule générale : si $N$ compte combien d'événements $A_1,\dots ,A_m$ se réalisent, alors $E(N)=\sum P(A_i)$, sans aucune condition sur ces événements.