Le modèle à six directions : décorrélées sans être indépendantes

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 16 — Probabilités sur un univers fini · D. Espérance, variance, covariance

Énoncé

Dans le modèle le plus simple de la distribution des vitesses d'un gaz, la vitesse $V$ d'une molécule a pour norme $c > 0$ et une direction tirée uniformément parmi les six directions $\pm e_{x}$ , $\pm e_{y}$ , $\pm e_{z}$ ; on note $V_{x}$ , $V_{y}$ , $V_{z}$ ses composantes.

a) Donner la loi de $V_{x}$ ; calculer $E (V_{x})$ et $E (V_{x}^{2})$ . On appelle vitesse quadratique moyenne le réel $u = E (V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2})$ ; montrer que $E (V_{x}^{2}) = \frac{u ^{2}}{3}$ . Sachant que l'énergie cinétique moyenne d'une molécule de masse $m$ vaut $\frac{3}{2} k T$ , que vaut $\frac{1}{2} m E (V_{x}^{2})$ ?

b) Calculer $Cov (V_{x}, V_{y})$ . Les variables $V_{x}$ et $V_{y}$ sont-elles indépendantes ?

c) Calculer $Cov (V_{x}^{2}, V_{y}^{2})$ et interpréter son signe.

d) Calculer $V (V_{x} + V_{y})$ de deux façons.

e) Plus généralement, soit $(V_{x}, V_{y}, V_{z})$ un triplet de variables aléatoires réelles tel que $(V_{x}, V_{y}, V_{z})$ , $(V_{y}, V_{z}, V_{x})$ et $(- V_{x}, V_{y}, V_{z})$ aient la même loi : c'est l'isotropie. Montrer que $E (V_{x}) = 0$ et que $E (V_{x}^{2}) = \frac{1}{3} E (V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2})$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La formule de transfert, valable pour les triplets ; $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ ; la variance d'une somme ; et : si $X$ et $Y$ ont la même loi, alors $f (X)$ et $f (Y)$ aussi. La stratégie : le triplet $(V_{x}, V_{y}, V_{z})$ ne prend que six valeurs, $(\pm c, 0, 0)$ , $(0, \pm c, 0)$ et $(0, 0, \pm c)$ , chacune avec probabilité $\frac{1}{6}$ ; tout se lit sur ce tableau à six lignes.

a) La loi de $V_{x}$ . La composante $V_{x}$ vaut $c$ pour la seule direction $+ e_{x}$ , $- c$ pour la seule direction $- e_{x}$ , et $0$ pour les quatre autres : $P (V_{x} = c) = P (V_{x} = - c) = \frac{1}{6}, P (V_{x} = 0) = \frac{2}{3} .$ Par la formule de transfert, $E (V_{x}) = \frac{c}{6} - \frac{c}{6} = 0$ et $E (V_{x}^{2}) = \frac{c ^{2}}{6} + \frac{c ^{2}}{6} = \frac{c ^{2}}{3}$ . Pour chacune des six directions, une seule composante est non nulle et vaut $\pm c$ : la variable $V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2}$ est constante, égale à $c^{2}$ . Donc $u^{2} = c^{2}$ et $E (V_{x}^{2}) = \frac{u ^{2}}{3}$ .

L'énergie par direction. L'énergie cinétique d'une molécule est $\frac{1}{2} m (V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2})$ ; par linéarité, sa moyenne vaut $\frac{1}{2} m u^{2}$ , et l'énoncé la donne égale à $\frac{3}{2} k T$ . Donc $\frac{1}{2} m E (V_{x}^{2}) = \frac{1}{2} m \frac{u ^{2}}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} k T = \frac{1}{2} k T .$ L'énergie cinétique moyenne se partage en trois parts égales, $\frac{1}{2} k T$ par direction. La vitesse quadratique moyenne en découle : $u = \frac{3 k T}{m}$ .

b) Décorrélées. Par le même décompte, $V_{y}$ et $V_{z}$ ont la même loi que $V_{x}$ . Le produit $V_{x} V_{y}$ est toujours nul, une seule composante étant non nulle à la fois ; donc $E (V_{x} V_{y}) = 0$ et $Cov (V_{x}, V_{y}) = 0 - 0 \times 0 = 0$ : $V_{x}$ et $V_{y}$ sont décorrélées. Elles ne sont pourtant pas indépendantes : $P (V_{x} = c, V_{y} = c) = 0$ , alors que $P (V_{x} = c) P (V_{y} = c) = \frac{1}{36}$ . Elles sont même fortement liées : savoir que $V_{x} \neq = 0$ impose $V_{y} = 0$ .

c) Les carrés sont corrélés négativement. Le produit $V_{x}^{2} V_{y}^{2}$ est lui aussi toujours nul, donc $Cov (V_{x}^{2}, V_{y}^{2}) = 0 - \frac{c ^{2}}{3} \cdot \frac{c ^{2}}{3} = - \frac{c ^{4}}{9} < 0.$ Les carrés varient en sens contraires : l'énergie cinétique $\frac{1}{2} m c^{2}$ est fixée, et si elle est tout entière portée par la direction $x$ , il n'en reste rien pour la direction $y$ . La dépendance que la covariance des composantes ne voyait pas apparaît sur les carrés.

d) La variance d'une somme, de deux façons. Directement : $V_{x} + V_{y}$ vaut $c$ pour les directions $+ e_{x}$ et $+ e_{y}$ , $- c$ pour $- e_{x}$ et $- e_{y}$ , et $0$ pour $\pm e_{z}$ ; donc $E (V_{x} + V_{y}) = 0$ , $E ((V_{x} + V_{y})^{2}) = \frac{4}{6} c^{2}$ , et $V (V_{x} + V_{y}) = \frac{2 c ^{2}}{3}$ . Par la formule : $V (V_{x}) = E (V_{x}^{2}) - E (V_{x})^{2} = \frac{c ^{2}}{3}$ , de même pour $V_{y}$ , et la covariance est nulle : $V (V_{x} + V_{y}) = \frac{c ^{2}}{3} + \frac{c ^{2}}{3} + 2 \times 0 = \frac{2 c ^{2}}{3} .$ La variance s'additionne pour des variables décorrélées, même non indépendantes : c'est la décorrélation, et elle seule, que demande le théorème du cours.

e) L'isotropie suffit. Appliquons la propriété « même loi, donc même loi après une fonction » aux triplets. Avec la fonction « première coordonnée », l'égalité en loi de $(V_{x}, V_{y}, V_{z})$ et $(V_{y}, V_{z}, V_{x})$ donne $V_{x} \sim V_{y}$ ; avec « deuxième coordonnée », $V_{y} \sim V_{z}$ ; et l'égalité en loi de $(V_{x}, V_{y}, V_{z})$ et $(- V_{x}, V_{y}, V_{z})$ donne $V_{x} \sim - V_{x}$ . Deux variables de même loi ont la même espérance : $E (V_{x}) = E (- V_{x}) = - E (V_{x})$ , donc $E (V_{x}) = 0$ . Avec la fonction « carré d'une coordonnée », $V_{x}^{2}$ , $V_{y}^{2}$ , $V_{z}^{2}$ ont la même loi, donc la même espérance, et par linéarité $E (V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2}) = 3 E (V_{x}^{2})$ . Le modèle à six directions est isotrope — permuter circulairement les axes ou retourner l'axe $x$ permute les six directions entre elles — : le a) n'en était qu'un cas particulier.

Le point délicat. Indépendantes entraîne décorrélées, mais la réciproque est fausse, et ce modèle physique en est un contre-exemple : la covariance ne mesure que la partie linéaire d'une dépendance, et celle-ci — une seule composante non nulle — se lit sur une case de la loi conjointe ou sur les carrés.

Ce que l'exercice installe. Le coefficient $\frac{1}{3}$ du partage de l'énergie, $\frac{1}{2} m E (V_{x}^{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} k T = \frac{1}{2} k T$ , n'est pas un accident du modèle : c'est l'isotropie de la distribution des vitesses, et rien d'autre — l'homogénéité et l'isotropie que le cours de physique suppose —, qui répartit l'agitation également entre les trois directions, $E (V_{x}^{2}) = \frac{u ^{2}}{3}$ . Et la leçon de statistique : une covariance nulle n'autorise jamais à conclure à l'absence de lien — elle dit seulement qu'aucune droite ne décrit ce lien.

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