Monty Hall, et l'animateur qui ne sait rien

La stratégie. Monty Hall n'est pas un paradoxe de calcul, c'est un paradoxe de modélisation. Tout repose sur ce que sait l'animateur : l'univers doit porter deux variables aléatoires, la porte $V$ de la voiture et la porte $H$ que l'animateur ouvre, et c'est la loi conditionnelle de $H$ sachant $V$ qui code le protocole.

a) Le modèle informé. Les portes jouant des rôles interchangeables, numérotons-les pour que le joueur ait choisi la porte $1$. La voiture est placée au hasard : $V$ suit la loi uniforme sur $\{1,2,3\}$. L'animateur ouvre une porte qui n'est ni celle du joueur, ni celle de la voiture. Le système complet $(V=1)$, $(V=2)$, $(V=3)$ donne trois cas.

• Si $V=1$, le joueur tient la voiture ; l'animateur a le choix entre les portes $2$ et $3$, et l'on convient qu'il en ouvre une au hasard. En changeant, le joueur perd.
• Si $V=2$, l'animateur ne peut ouvrir ni la porte $1$, ni la porte $2$ : il est contraint d'ouvrir la porte $3$. En changeant, le joueur prend la porte $2$ et gagne.
• Si $V=3$, symétriquement, il est contraint d'ouvrir la porte $2$, et le joueur, en changeant, gagne.

Notons $G$ l'événement « le joueur gagne en changeant ». La formule des probabilités totales donne $$P(G)=\sum _{i=1}^{3}P(G\mid V=i)P(V=i)=\frac{1}{3}(0+1+1)=\frac{2}{3}.$$ Changer gagne si et seulement si le premier choix était mauvais, ce qui arrive avec probabilité $\frac{2}{3}$.

La même chose par Bayes. Notons $H_3$ l'événement « l'animateur ouvre la porte $3$ » et $V_i$ l'événement « la voiture est derrière la porte $i$ ». Avec $P(H_3\mid V_1)=\frac{1}{2}$ par la convention, $P(H_3\mid V_2)=1$ par la contrainte et $P(H_3\mid V_3)=0$, les probabilités totales donnent $$P(H_3)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}+0\times \frac{1}{3}=\frac{1}{2},$$ et la formule de Bayes renverse le conditionnement, de l'observation vers la cause : $$P(V_2\mid H_3)=\frac{P(H_3\mid V_2)P(V_2)}{P(H_3)}=\frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3},$$ tandis que $P(V_1\mid H_3)=\frac{1/6}{1/2}=\frac{1}{3}$. La convention ne change rien : si, dans le cas $V_1$, l'animateur ouvrait la porte $3$ avec une probabilité $q$ quelconque, on aurait $P(H_3)=\frac{1+q}{3}$ et $P(V_2\mid H_3)=\frac{1}{1+q}\ge \frac{1}{2}$.

Où pèche le raisonnement qui conclut à $\frac{1}{2}$. Il suppose les deux portes restées fermées « également probables ». Mais l'animateur n'ouvre pas au hasard : dans les cas $V=2$ et $V=3$, qui pèsent $\frac{2}{3}$, son geste est forcé par la position de la voiture, et il transmet de l'information — le rapport $2$ entre $P(H_3\mid V_2)=1$ et $P(H_3\mid V_1)=\frac{1}{2}$ est celui des probabilités finales.

b) Le modèle ignorant. L'animateur ouvre maintenant au hasard l'une des portes $2$ ou $3$ : $H$ suit la loi uniforme sur $\{2,3\}$, et, ne sachant rien, il choisit indépendamment de $V$. On observe l'événement $E=(H=3)\cap (V\ne 3)$ : la porte $3$ a été ouverte, et elle cachait une chèvre. Par indépendance, $$P(E)=P(H=3)P(V\ne 3)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3},$$ et $(V=2)\cap E=(V=2)\cap (H=3)$ a pour probabilité $\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$. D'où $$P(V=2\mid E)=\frac{1/6}{1/3}=\frac{1}{2},$$ et de même $P(V=1\mid E)=\frac{1}{2}$. Dans ce modèle, changer ne sert à rien : l'animateur ignorant ne transmet aucune information sur $V$, puisque son geste n'en dépend pas ; la seule information est « la voiture n'est pas derrière la porte $3$ », qui laisse les deux autres à égalité.

Contrôle par dénombrement. Modèle ignorant : les six couples $(V,H)$ sont équiprobables, $E$ en contient deux, dont un seul a la voiture en $2$ : $\frac{1}{2}$. Modèle informé : l'ouverture de la porte $3$ vient du couple $(1,3)$, de probabilité $\frac{1}{6}$, ou du couple $(2,3)$, de probabilité $\frac{1}{3}$ ; la part du second est $\frac{2}{3}$.

Le point délicat. Les deux modèles observent la même chose — une porte ouverte sur une chèvre — et donnent $\frac{2}{3}$ et $\frac{1}{2}$. La différence tient à un mot de l'énoncé, « qui sait », c'est-à-dire à la loi conditionnelle de $H$ sachant $V$. L'information ne vient pas de la chèvre, elle vient de la contrainte de l'animateur.

Ce que l'exercice installe. En probabilités, l'énoncé ne suffit jamais : il faut décider ce que contient l'univers, et ce que savent les acteurs. Les probabilités totales désagrègent un événement selon ses causes ; Bayes remonte de l'effet observé vers la cause — la démarche d'un expérimentateur qui interprète une mesure à la lumière du protocole qui l'a produite.