Problème — La formule de Viète pour $\pi$ et la méthode d'Archimède

1) Le produit télescopique. L'idée. La duplication, écrite $\cos \frac{x}{2^k}=\frac{\sin (x/2^{k-1})}{2\sin (x/2^k)}$ lorsque le dénominateur n'est pas nul, fait du produit un télescopage multiplicatif : les sinus intermédiaires se simplifient en cascade. Pour une preuve valable pour tout réel $x$, y compris lorsqu'un sinus s'annule, on raisonne par récurrence sur $n$, sans jamais diviser.

Initialisation. Pour $n=1$, le membre de gauche vaut $2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x$, par la duplication.

Hérédité. Supposons l'égalité vraie au rang $n$. Au rang $n+1$, on isole le dernier facteur du produit et l'on applique la duplication à l'angle $\frac{x}{2^{n+1}}$ : $$2^{n+1}\sin \frac{x}{2^{n+1}}\cos \frac{x}{2^{n+1}}\prod _{k=1}^n\cos \frac{x}{2^k}=2^n\sin \frac{x}{2^n}\prod _{k=1}^n\cos \frac{x}{2^k}=\sin x.$$ L'égalité est vraie au rang $n+1$, donc pour tout $n\ge 1$.

2) La limite du produit. Soit $x\in ]0,\pi ]$ et $n\ge 1$. Alors $\frac{x}{2^n}\in \left]0,\frac{\pi }{2}\right]$, donc $\sin \frac{x}{2^n}>0$, et le 1) donne $$P_n(x)=\frac{\sin x}{2^n\sin (x/2^n)}.$$ Posons $u_n=\frac{x}{2^n}>0$. L'exercice 9 c) donne $u_n-\frac{u_n^3}{6}\le \sin u_n\le u_n$ ; en multipliant par $\frac{2^n}{x}>0$, et puisque $2^n{u}_n=x$ et $2^n{u}_n^3=\frac{x^3}{4^n}$ : $$1-\frac{x^2}{6\cdot 4^n}\le \frac{2^n\sin (x/2^n)}{x}\le 1.$$ Comme $\frac{x^2}{6\cdot 4^n}\to 0$, le théorème des gendarmes donne $\frac{2^n\sin (x/2^n)}{x}\to 1$ ; et la limite d'un quotient dont le dénominateur tend vers une limite non nulle donne $$P_n(x)=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{x}{2^n\sin (x/2^n)}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{\sin x}{x}.$$

3) La formule de Viète. On a $c_1=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Pour $k\ge 1$, la duplication $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$ avec $a=\frac{\pi }{2^{k+2}}$ donne $c_k=2c_{k+1}^2-1$, soit $c_{k+1}^2=\frac{1+c_k}{2}$. Comme $\frac{\pi }{2^{k+2}}\in \left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, le cosinus $c_{k+1}$ est positif, et il est donc la racine carrée positive : $$c_{k+1}=\sqrt{\frac{1+c_k}{2}}.$$ Le signe n'est pas un détail : l'équation $c_{k+1}^2=\frac{1+c_k}{2}$ a deux solutions opposées, et c'est l'encadrement de l'angle qui choisit la bonne.

Avec $x=\frac{\pi }{2}$, le produit $P_n\left(\frac{\pi }{2}\right)={\prod }_{k=1}^n\cos \frac{\pi }{2^{k+1}}$ est exactement $c_1{c}_2\cdots c_n$, et le 2) donne sa limite : $\frac{\sin (\pi /2)}{\pi /2}=\frac{2}{\pi }$. Enfin, par récurrence, $c_k=\frac{r_k}{2}$ avec $r_1=\sqrt{2}$ et $r_{k+1}=\sqrt{2+r_k}$ : en effet $\sqrt{\frac{1+r_k/2}{2}}=\sqrt{\frac{2+r_k}{4}}=\frac{\sqrt{2+r_k}}{2}$. D'où la formule de Viète, avec ses radicaux emboîtés.

Contrôle numérique. $c_2=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\approx 0,92388$ et $c_3\approx 0,98079$ ; le produit des vingt-neuf premiers facteurs vaut $0,63661977236758$, qui est $\frac{2}{\pi }$ à toutes les décimales affichées.

4) Le polygone d'Archimède. Les $2^n$ sommets du polygone régulier inscrit sont les points $M\left(\frac{2j\pi }{2^n}\right)$ du cercle unité, et deux sommets consécutifs sont vus du centre sous l'angle $2\alpha$, avec $\alpha =\frac{\pi }{2^n}\in \left]0,\frac{\pi }{4}\right]$. La longueur d'un côté est celle d'une corde, par exemple entre $(1,0)$ et $(\cos 2\alpha ,\sin 2\alpha )$ : $$\sqrt{(1-\cos 2\alpha {)}^2+{\sin }^{2}2\alpha }=\sqrt{2-2\cos 2\alpha }=\sqrt{4{\sin }^2\alpha }=2\sin \alpha ,$$ par la duplication $1-\cos 2\alpha =2{\sin }^2\alpha$ et parce que $\sin \alpha >0$. Le demi-périmètre vaut donc $s_n=\frac{1}{2}\cdot 2^n\cdot 2\sin \frac{\pi }{2^n}=2^n\sin \frac{\pi }{2^n}$.

Appliquons maintenant le 1) avec $x=\frac{\pi }{2}$ et le rang $n-1\ge 1$ : $$2^{n-1}\sin \frac{\pi }{2^n}\prod _{k=1}^{n-1}\cos \frac{\pi }{2^{k+1}}=\sin \frac{\pi }{2}=1,$$ donc $$s_n=2\cdot 2^{n-1}\sin \frac{\pi }{2^n}=\frac{2}{c_1{c}_2\cdots c_{n-1}}.$$ Les produits partiels de Viète sont donc, à l'inverse et au facteur $2$ près, les demi-périmètres des polygones d'Archimède : les deux méthodes calculent la même suite. Contrôle : pour $n=2$, le carré inscrit a pour côté $\sqrt{2}$ et pour demi-périmètre $2\sqrt{2}\approx 2,828$, et $\frac{2}{c_1}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.

5) L'encadrement d'Archimède. Avec $u=\frac{\pi }{2^n}>0$, l'exercice 9 c) donne $u-\frac{u^3}{6}\le \sin u\le u$ ; en multipliant par $2^n>0$, et puisque $2^{n}u=\pi$ et $2^n{u}^3=\frac{{\pi }^3}{4^n}$ : $$\pi -\frac{{\pi }^3}{6\cdot 4^n}\le s_n\le \pi .$$ La majoration dit qu'un polygone inscrit est plus court que le cercle ; la minoration dit de combien au plus.

6) Le nombre de côtés. L'encadrement garantit $|s_n-\pi |\le 10^{-6}$ dès que $\frac{{\pi }^3}{6\cdot 4^n}\le 10^{-6}$, c'est-à-dire $4^n\ge \frac{{\pi }^3}{6}\cdot 10^6\approx 5,17\times 10^6$. Or $4^{11}=4194304$ est trop petit et $4^{12}=16777216$ suffit : il faut $n=12$, un polygone à $2^{12}=4096$ côtés. Contrôle numérique : l'erreur réelle vaut $3,08\times 10^{-7}$ pour $4096$ côtés, et $1,23\times 10^{-6}$ pour $2048$ côtés — qui ne suffisent donc pas. La borne est presque exacte, et elle est divisée par $4$ chaque fois qu'on double le nombre de côtés.

Le théorème obtenu — formule de Viète (1593) et encadrement d'Archimède. Pour tout $n\ge 2$, le demi-périmètre du polygone régulier à $2^n$ côtés inscrit dans le cercle unité vérifie $$\pi -\frac{{\pi }^3}{6\cdot 4^n}\le 2^n\sin \frac{\pi }{2^n}=\frac{2}{c_1\cdots c_{n-1}}\le \pi ,$$ et le produit infini de Viète converge vers $\frac{2}{\pi }$ : $\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$

Ce que le problème installe. Trois idées qui dépassent ce chapitre. Une formule de duplication fait télescoper un produit, comme une différence fait télescoper une somme. Une suite d'approximations ne vaut que par son erreur garantie : ici l'erreur est divisée par $4$ à chaque doublement du nombre de côtés — une erreur en $\frac{1}{N^2}$ pour $N$ côtés —, et c'est ce que mesurera toute méthode numérique de l'année. Enfin, les petits angles de l'exercice 9 ne sont pas une curiosité : ce sont eux qui ont fourni l'erreur. (Le nom de Viète désigne ici cette formule de $\pi$, et non les relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme.)