Somme de parties entières

Posons $x=\lfloor x\rfloor +\theta$ avec $\theta \in [0,1[$ (partie fractionnaire), et distinguons deux cas.

• Cas $0\le \theta <\frac{1}{2}$ : alors $x+\frac{1}{2}=\lfloor x\rfloor +\theta +\frac{1}{2}$ avec $\theta +\frac{1}{2}\in [\frac{1}{2},1[$, donc $\lfloor x+\frac{1}{2}\rfloor =\lfloor x\rfloor$. Par ailleurs $2x=2\lfloor x\rfloor +2\theta$ avec $2\theta \in [0,1[$, donc $\lfloor 2x\rfloor =2\lfloor x\rfloor$. Les deux membres valent $2\lfloor x\rfloor$.
• Cas $\frac{1}{2}\le \theta <1$ : alors $\theta +\frac{1}{2}\in [1,\frac{3}{2}[$, donc $\lfloor x+\frac{1}{2}\rfloor =\lfloor x\rfloor +1$. Et $2\theta \in [1,2[$, donc $\lfloor 2x\rfloor =2\lfloor x\rfloor +1$. Les deux membres valent $2\lfloor x\rfloor +1$.

Dans les deux cas, l'égalité est vérifiée.