Calcul d'inverse par Gauss-Jordan

Appliquons Gauss-Jordan à $(A\mid I_3)$ :

$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 2& 2& 0& 1& 0\\ 1& 2& 3& 0& 0& 1\end{array}\right)\underset{L_3\leftarrow L_3-L_1}{\overset{L_2\leftarrow L_2-L_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& -1& 1& 0\\ 0& 1& 2& -1& 0& 1\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& -1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& -1& 1\end{array}\right).$$

La matrice de gauche est triangulaire à diagonale non nulle : $A$ est inversible. On « remonte » :

$$\underset{L_1\leftarrow L_1-L_3}{\overset{L_2\leftarrow L_2-L_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 1& 1& -1\\ 0& 1& 0& -1& 2& -1\\ 0& 0& 1& 0& -1& 1\end{array}\right)\stackrel{L_1\leftarrow L_1-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 2& -1& 0\\ 0& 1& 0& -1& 2& -1\\ 0& 0& 1& 0& -1& 1\end{array}\right).$$

Donc $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$. (Vérification rapide : $A\times A^{-1}=I_3$ — première ligne : $2-1+0=1$, $-1+2-1=0$, $0-1+1=0$. ✔)