mathématiques (PTSI) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Équilibrer une réaction, c'est résoudre un système homogène

Calcul matriciel et systèmes linéaires · C. Systèmes linéaires · niveau 2

Énoncé

Équilibrer une équation de réaction, c'est choisir des nombres stœchiométriques qui assurent la conservation de chaque élément chimique — et de la charge électrique quand des ions interviennent. On note $X$ la colonne des nombres stœchiométriques inconnus, que l'on cherche d'abord réels, puis entiers.

a) Combustion du propane : $a C_{3} H_{8} + b O_{2} ⟶ c C O_{2} + d H_{2} O$ . Écrire la conservation de C, H et O sous la forme $A X = 0$ , avec $A \in M_{3, 4} (R)$ et $X = (a, b, c, d)^{⊤}$ . Résoudre par le pivot : montrer que l'ensemble des solutions est ${t X_{0} : t \in R}$ pour une colonne $X_{0}$ à préciser, et en déduire l'équation équilibrée à coefficients entiers les plus petits.

b) Dosage des ions fer(II) par les ions permanganate : $a Mn O_{4}^{-} + b F e^{2 +} + c H^{+} ⟶ d M n^{2 +} + e F e^{3 +} + f H_{2} O$ . Écrire le système (conservation de Mn, Fe, O, H, et de la charge) et le résoudre. Combien d'inconnues libres reste-t-il si l'on oublie la conservation de la charge ? Interpréter.

c) $a H_{2} + b O_{2} ⟶ c H_{2} O + d H_{2} O_{2}$ . Montrer que les solutions dépendent de deux inconnues libres et sont exactement les combinaisons linéaires de deux solutions $X_{1}, X_{2}$ , que l'on interprétera comme deux réactions indépendantes.

d) Montrer que, pour tout système homogène $A X = 0$ , une combinaison linéaire de solutions est encore une solution. Montrer que la « réaction » $a H_{2} O ⟶ b H_{2} O_{2}$ ne peut pas être équilibrée : quel est l'ensemble des solutions ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'écriture matricielle d'un système, le système homogène associé, le pivot et la lecture des inconnues libres, la bilinéarité du produit. La stratégie : chaque loi de conservation est une équation linéaire homogène — on compte les atomes d'un élément à gauche, puis à droite, et l'on écrit que la différence est nulle. Équilibrer, c'est décrire les solutions de $A X = 0$ .

a) Le propane : une inconnue libre. Carbone : $3 a$ et $c$ ; hydrogène : $8 a$ et $2 d$ ; oxygène : $2 b$ et $2 c + d$ . D'où $⎩ ⎨ ⎧ 3 a - c = 0 8 a - 2 d = 0 2 b - 2 c - d = 0 soit 380002 - 1 0 - 2 0 - 2 - 1 X = 0.$ Le pivot : $L_{2} \leftarrow 3 L_{2} - 8 L_{1}$ (dilatation de rapport $3$ , puis transvection) donne $(0, 0, 8, - 6)$ , et l'échange $L_{2} \leftrightarrow L_{3}$ la forme échelonnée de lignes $(3, 0, - 1, 0)$ , $(0, 2, - 2, - 1)$ , $(0, 0, 8, - 6)$ , à pivots sur $a$ , $b$ , $c$ : $d$ est libre. En remontant, $c = \frac{3}{4} d$ , $b = c + \frac{d}{2} = \frac{5}{4} d$ et $a = \frac{c}{3} = \frac{1}{4} d$ . Avec $t = \frac{d}{4}$ , les solutions sont les $t X_{0}$ , où $X_{0} = (1, 5, 3, 4)^{⊤}$ . La première composante de $X_{0}$ valant $1$ , une solution entière exige $t$ entier, et la plus petite est $X_{0}$ : $C_{3} H_{8} + 5 O_{2} ⟶ 3 C O_{2} + 4 H_{2} O$ , avec dix atomes d'oxygène de chaque côté.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le b), les quatre bilans d'atomes expriment $c$ , $d$ , $e$ , $f$ en fonction de $a$ et $b$ . J'en conclurais deux inconnues libres, mais l'énoncé insiste sur la charge : qu'apporte-t-elle de plus ?

Les bilans d'atomes laissent en effet $a$ et $b$ libres. Reporte tes expressions dans l'équation de conservation de la charge : que devient-elle, et quelle contrainte impose-t-elle ?

Élève

Elle ne fait plus intervenir que $a$ et $b$ et devient une relation linéaire entre eux, ce qui ne laisse qu'une inconnue libre.

Bien. Sans la charge, les solutions forment un plan : quelle « réaction » décrit une seconde direction de ce plan, et pourquoi la conservation de la charge l'élimine-t-elle ? Quel lien fais-tu avec le bilan électronique ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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