La matrice de uns

Stratégie : une seule identité, $J^2=nJ$, ramène toutes les puissances à deux matrices.

1) Le carré. Le coefficient d'indice $(i,j)$ de $J^2$ est ${\sum }_{k=1}^n{J}_{ik}{J}_{kj}={\sum }_{k=1}^{n}1\times 1=n$. Toutes les cases de $J^2$ valent donc $n$, c'est-à-dire

$$J^2=nJ.$$

2) Les puissances de $J$. Par récurrence : $J^1=J=n^{0}J$, et si $J^m=n^{m-1}J$ alors $J^{m+1}=n^{m-1}{J}^2=n^{m-1}\times nJ=n^{m}J$. Donc

$$\forall m\ge 1,J^m=n^{m-1}J.$$

3) Le binôme. Les matrices $I_n$ et $J$ commutent — $I_n$ commute avec tout —, ce qui autorise la formule du binôme :

$${\left(a{I}_n+bJ\right)}^m=\sum _{k=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)a^{m-k}{b}^k{J}^k.$$

Le terme $k=0$ vaut $a^m{I}_n$ ; pour $k\ge 1$ on remplace $J^k$ par $n^{k-1}J$ :

$${\left(a{I}_n+bJ\right)}^m=a^m{I}_n+\left(\sum _{k=1}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)a^{m-k}{b}^k{n}^{k-1}\right)J.$$

Il reste à reconnaître la somme. En multipliant et divisant par $n$, on fait apparaître le binôme de $(a+bn{)}^m$ auquel il manque le terme $k=0$ :

$$\sum _{k=1}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)a^{m-k}{b}^k{n}^{k-1}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)a^{m-k}(bn{)}^k=\frac{(a+bn{)}^m-a^m}{n}.$$

$$\boxed{{\left(a{I}_n+bJ\right)}^m=a^m{I}_n+\frac{(a+bn{)}^m-a^m}{n}J.}$$

⚠️ Deux pièges, tous deux au même endroit. D'abord, le binôme n'est légitime que parce que les deux matrices commutent : pour deux matrices quelconques, $(A+B{)}^2$ ne vaut pas $A^2+2AB+B^2$, mais $A^2+AB+BA+B^2$. Ensuite, la formule $J^k=n^{k-1}J$ n'est valable que pour $k\ge 1$ ; le terme $k=0$, qui vaut $I_n$ et non $\frac{1}{n}J$, doit être sorti de la somme à la main.

Contrôles numériques. Pour $m=1$ la formule donne $a{I}_n+\frac{(a+bn)-a}{n}J=a{I}_n+bJ$. ✔ Pour $n=3$, $a=b=1$, $m=2$ : le calcul direct donne $(I_3+J{)}^2=I_3+2J+J^2=I_3+2J+3J=I_3+5J$, et la formule donne $1\times I_3+\frac{4^2-1}{3}J=I_3+5J$. ✔ L'identité a été vérifiée symboliquement pour $n$ de $2$ à $5$ et $m$ de $1$ à $5$.

Ce que l'exercice installe. L'égalité $J^2=nJ$ dit que $J$ est annulée par le polynôme $X^2-nX$. Une telle relation fait s'effondrer toutes les puissances sur les deux seules matrices $I_n$ et $J$ : c'est le procédé du polynôme annulateur, qu'on retrouvera pour calculer des puissances comme pour inverser.