Le centre : tester sur les matrices élémentaires

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PTSI), chapitre 7 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · D. Calcul dans $M_{n} (K)$ et inversibles

Énoncé

a) Déterminer les matrices $A \in M_{n} (K)$ qui commutent avec toutes les matrices de $M_{n} (K)$ .

b) Soit $D = diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ une matrice diagonale dont les coefficients sont deux à deux distincts. Montrer que $A D = D A$ si et seulement si $A$ est diagonale. Que se passe-t-il si deux des $d_{i}$ sont égaux ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. « Toute matrice est combinaison linéaire des $E_{i, j}$ », la règle $E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l}$ , la bilinéarité du produit et le produit des diagonales. La stratégie du a) : il suffit de tester $A$ contre les $n^{2}$ matrices élémentaires, car si $A E_{i, j} = E_{i, j} A$ pour tous $i, j$ , alors pour $M = \sum m_{i, j} E_{i, j}$ , par bilinéarité, $A M = \sum m_{i, j} A E_{i, j} = \sum m_{i, j} E_{i, j} A = M A$ .

a) Ce qui commute avec tout. Les matrices scalaires conviennent : $(λ I_{n}) M = λ M = M (λ I_{n})$ . Réciproquement, soit $A = \sum_{k, l} a_{k, l} E_{k, l}$ commutant avec toute matrice, en particulier avec $E_{i, j}$ . Par la règle des matrices élémentaires, $A E_{i, j} = k, l \sum a_{k, l} δ_{l, i} E_{k, j} = k \sum a_{k, i} E_{k, j},$ $E_{i, j} A = k, l \sum a_{k, l} δ_{j, k} E_{i, l} = l \sum a_{j, l} E_{i, l} .$ Lecture : $A E_{i, j}$ a pour colonne $j$ la colonne $i$ de $A$ , et ses autres colonnes nulles ; $E_{i, j} A$ a pour ligne $i$ la ligne $j$ de $A$ , et ses autres lignes nulles. Pour $k \neq = i$ , le coefficient $(k, j)$ vaut $a_{k, i}$ à gauche et $0$ à droite : les coefficients hors diagonale sont nuls. Le coefficient $(i, j)$ vaut $a_{i, i}$ à gauche et $a_{j, j}$ à droite : la diagonale est constante. Donc les matrices qui commutent avec toutes les autres sont exactement les matrices scalaires $λ I_{n}$ ; leur ensemble s'appelle le centre de $M_{n} (K)$ .

b) Ce qui commute avec une diagonale. Le coefficient $(i, j)$ de $A D$ vaut $a_{i, j} d_{j}$ , celui de $D A$ vaut $d_{i} a_{i, j}$ : $A D = D A$ si et seulement si $a_{i, j} (d_{j} - d_{i}) = 0$ pour tous $i, j$ . Pour $i \neq = j$ , $d_{j} \neq = d_{i}$ impose $a_{i, j} = 0$ : $A$ est diagonale ; réciproquement deux diagonales commutent. Si $d_{1} = d_{2}$ , la condition ne dit rien sur $a_{1, 2}$ et $a_{2, 1}$ . Contrôle : $diag (1, 1, 2)$ commute avec la matrice non diagonale de lignes $(1, 2, 0)$ , $(3, 4, 0)$ , $(0, 0, 5)$ — les deux produits ont pour lignes $(1, 2, 0)$ , $(3, 4, 0)$ , $(0, 0, 10)$ .

Le point délicat. On ne teste pas $A$ contre une infinité de matrices, mais contre les $n^{2}$ matrices élémentaires, qui suffisent par bilinéarité : choisir les témoins les plus simples qui engendrent tout.

Ce que l'exercice installe. Seules les matrices scalaires commutent avec tout ; au chapitre des matrices et applications linéaires, cela se dira des homothéties. Le b) ouvre la réduction des matrices de deuxième année.

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