Le modèle météo

Stratégie : passer du tableau à une seule suite, puis reconnaître une suite arithmético-géométrique du chapitre 5.

1) L'écriture matricielle. Le jour $n+1$ est beau si le jour $n$ était beau et que le beau temps s'est maintenu, ou si le jour $n$ était pluvieux et que le temps s'est amélioré. Ces deux situations s'excluent et couvrent tous les cas, d'où

$$p_{n+1}=0,9p_n+0,5(1-p_n),$$

qui est exactement la première ligne du produit matriciel proposé. (Ce découpage selon le temps de la veille est la formule des probabilités totales, formalisée au chapitre 16 ; ici on la lit directement sur l'énoncé.)

La seconde ligne se vérifie de même : $0,1p_n+0,5(1-p_n)=0,5-0,4p_n$, et l'on constate que c'est bien $1-p_{n+1}$. Le modèle est cohérent : les deux composantes du vecteur continuent de faire $1$, ce qui est obligatoire puisque chaque colonne de la matrice a pour somme $1$.

2) La récurrence. En développant la première ligne :

$$p_{n+1}=0,9p_n+0,5-0,5p_n=0,4p_n+0,5.$$

C'est une suite arithmético-géométrique $p_{n+1}=q{p}_n+r$ avec $q=0,4$ et $r=0,5$.

3) Le point fixe, puis la limite. On cherche $\ell$ tel que $\ell =0,4\ell +0,5$, soit $0,6\ell =0,5$ :

$$\ell =\frac{0,5}{0,6}=\frac{5}{6}.$$

Posons $v_n=p_n-\frac{5}{6}$. En retranchant $\ell =0,4\ell +0,5$ à $p_{n+1}=0,4p_n+0,5$ :

$$v_{n+1}=0,4v_n,\text{donc}{v}_n=(0,4{)}^n{v}_0\text{et}{p}_n=\frac{5}{6}+(0,4{)}^n\left(p_0-\frac{5}{6}\right).$$

Comme $|0,4|<1$, on a $(0,4{)}^n\to 0$ et

$$\boxed{p_n\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{5}{6}\approx 0,833.}$$

⚠️ Le point fixe n'existe que parce que $0,4\ne 1$ : c'est la division par $1-0,4=0,6$. Si les deux probabilités de l'énoncé avaient été $1$ et $0$, on aurait $p_{n+1}=p_n$ : plus de point fixe attractif, et la suite resterait bloquée sur sa valeur initiale. La convergence vient de la contraction $|q|<1$, pas du modèle probabiliste.

Contrôle numérique. Partons de $p_0=0,5$ : $p_1=0,7$, $p_2=0,78$, $p_3=0,812$, $p_4=0,8248$ — la suite monte vers $0,8333$. Partons maintenant de $p_0=0$ (il pleut à coup sûr le premier jour) : $p_1=0,5$, $p_2=0,7$, $p_3=0,78$ — même limite, avec un jour de retard. Après quarante itérations, l'écart avec $\frac{5}{6}$ est inférieur à $10^{-12}$ dans les deux cas. ✔

Ce que l'exercice installe. Une chaîne à deux états se ramène à une seule suite arithmético-géométrique, et sa limite $\left(\frac{5}{6},\frac{1}{6}\right)$ ne dépend pas de la condition initiale : c'est l'état stationnaire du système. Le beau temps l'emporte cinq jours sur six, quel que soit le temps qu'il faisait au départ — et l'on tient là, en dimension deux, le principe de tout modèle de Markov.