Les matrices de rotation

Stratégie : poser le produit, et lire les formules d'addition dans le résultat.

1) Le produit. Effectuons-le case par case :

$$R(\theta )R({\theta }^{\prime })=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }-\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }& -\cos \theta \sin {\theta }^{\prime }-\sin \theta \cos {\theta }^{\prime }\\ \sin \theta \cos {\theta }^{\prime }+\cos \theta \sin {\theta }^{\prime }& -\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }+\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }\end{array}\right).$$

Les formules d'addition du chapitre 2 donnent $\cos (\theta +{\theta }^{\prime })=\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }-\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }$ et $\sin (\theta +{\theta }^{\prime })=\sin \theta \cos {\theta }^{\prime }+\cos \theta \sin {\theta }^{\prime }$. Les quatre cases se réécrivent donc

$$R(\theta )R({\theta }^{\prime })=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta +{\theta }^{\prime })& -\sin (\theta +{\theta }^{\prime })\\ \sin (\theta +{\theta }^{\prime })& \cos (\theta +{\theta }^{\prime })\end{array}\right)=R(\theta +{\theta }^{\prime }).$$

2) Les puissances. Par récurrence sur $m$. Pour $m=0$ : $R(\theta {)}^0=I_2=R(0)$, puisque $\cos 0=1$ et $\sin 0=0$. Si $R(\theta {)}^m=R(m\theta )$, alors $R(\theta {)}^{m+1}=R(m\theta )R(\theta )=R(m\theta +\theta )=R((m+1)\theta )$.

$$\forall m\in \mathbb{N},R(\theta {)}^m=R(m\theta ).$$

3) L'inverse. $R(\theta )R(-\theta )=R(0)=I_2$, et de même $R(-\theta )R(\theta )=I_2$ : $R(\theta )$ est inversible, d'inverse $R(-\theta )$. Or

$$R(-\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=R(\theta {)}^{\top },$$

par parité du cosinus et imparité du sinus. Ainsi $R(\theta {)}^{-1}=R(\theta {)}^{\top }$.

⚠️ Le sens de lecture est l'enjeu de l'exercice. On n'utilise pas les formules d'addition pour vérifier un calcul matriciel : c'est le produit matriciel qui les contient. Autrement dit, composer deux rotations, c'est ajouter leurs angles, et les formules de trigonométrie ne sont que la traduction de ce fait en coordonnées.

Un contrôle indépendant de l'inversibilité. Pour une matrice $2\times 2$, l'inversibilité équivaut à $ad-bc\ne 0$ ; ici $ad-bc={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, non nul quel que soit $\theta$. On retrouve l'inversibilité sans passer par la composition.

Contrôle numérique. Prenons $\theta =\frac{\pi }{2}$, soit $R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Alors $R^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_2=R(\pi )$ ✔, et $R^4=I_2=R(2\pi )$ ✔ : quatre quarts de tour font un tour complet. Les identités $R(\theta )R({\theta }^{\prime })=R(\theta +{\theta }^{\prime })$, $R(\theta {)}^m=R(m\theta )$ pour $m=2,3,5$ et $R(\theta {)}^{-1}=R(-\theta )=R(\theta {)}^{\top }$ ont été vérifiées symboliquement.

Ce que l'exercice installe. L'application $\theta \mapsto R(\theta )$ transforme les sommes en produits : les rotations planes forment une partie de ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{R})$ stable par produit et par inverse, et sur laquelle le produit est commutatif — ce qu'il n'est pas dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ tout entier. L'égalité $R^{-1}=R^{\top }$ est par ailleurs la définition même d'une matrice orthogonale.