Les nombres complexes sont des matrices, et les rotations composent les angles

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le produit des complexes, l'unicité de l'écriture algébrique, l'exponentielle complexe (chapitre des nombres complexes) et le critère d'inversibilité $2\times 2$ du cours : $ad-bc\ne 0$. La stratégie : tout repose sur $J^2=-I_2$, la règle $i^2=-1$ écrite en matrices.

a) Le calcul de base. Le produit de $J$ par lui-même a pour lignes $(0\times 0+(-1)\times 1,0)$ et $(0,1\times (-1)+0\times 0)$ : $J^2=-I_2$. Les combinaisons se font coefficient par coefficient : $\lambda M(a,b)+\mu M(c,d)=M(\lambda a+\mu c,\lambda b+\mu d)$. Pour le produit, $I_2$ commute avec $J$ : on développe comme avec des nombres, puis on remplace $J^2$ par $-I_2$, $$M(a,b)M(c,d)=(a{I}_2+bJ)(c{I}_2+dJ)=ac{I}_2+(ad+bc)J+bd{J}^2=M(ac-bd,ad+bc).$$ Le produit reste dans $\mathcal{E}$, et il est commutatif, le couple $(ac-bd,ad+bc)$ ne changeant pas si l'on échange $(a,b)$ et $(c,d)$ — alors que dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $E_{1,2}{E}_{2,1}=E_{1,1}$ et $E_{2,1}{E}_{1,2}=E_{2,2}$.

b) Une copie de $\mathbb{C}$. L'écriture $a+ib$ est unique et $M(a,b)$ détermine $(a,b)$, sa première colonne : $\Phi$ est bijective. Elle respecte les sommes, et les produits parce que $z{z}^{\prime }=(ac-bd)+i(ad+bc)$ : calculer dans $\mathcal{E}$ ou dans $\mathbb{C}$, c'est la même opération écrite deux fois. L'inverse : pour $z\ne 0$, $z\cdot \frac{\bar{z}}{|z{|}^2}=1$, donc $\Phi (z)\Phi \left(\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}\right)=\Phi (1)=I_2$, dans les deux ordres, et $$M(a,b{)}^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}M(a,-b)=\frac{1}{a^2+b^2}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right).$$ C'est la formule du cours : le nombre « $ad-bc$ » de la matrice de lignes $(a,-b)$ et $(b,a)$ vaut $a^2+b^2=|z{|}^2$, non nul si et seulement si $z\ne 0$, et la conjugaison est devenue la transposition. Contrôle : $M(3,4)\cdot \frac{1}{25}M(3,-4)=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{cc}9+16& 12-12\\ 12-12& 16+9\end{array}\right)=I_2$.

c) Les rotations composent les angles. $R(\theta )=\Phi (\cos \theta +i\sin \theta )=\Phi (e^{i\theta })$, donc $$R(\theta )R({\theta }^{\prime })=\Phi (e^{i\theta }{e}^{i{\theta }^{\prime }})=\Phi (e^{i(\theta +{\theta }^{\prime })})=R(\theta +{\theta }^{\prime }).$$ Effectué coefficient par coefficient, ce produit a pour première colonne $\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }-\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }$ et $\sin \theta \cos {\theta }^{\prime }+\cos \theta \sin {\theta }^{\prime }$ : l'égalité avec $R(\theta +{\theta }^{\prime })$ est la paire des formules d'addition — composer deux rotations, c'est ajouter leurs angles. Puissances : par récurrence, $R(\theta {)}^0=R(0)$ et $R(\theta {)}^{m+1}=R(m\theta )R(\theta )=R((m+1)\theta )$ — la formule de Moivre transportée. Inverse : $R(\theta )R(-\theta )=R(0)=I_2$, donc $R(\theta {)}^{-1}=R(-\theta )$, qui par parité du cosinus et imparité du sinus est la matrice de lignes $(\cos \theta ,\sin \theta )$ et $(-\sin \theta ,\cos \theta )$, c'est-à-dire $R(\theta {)}^{\top }$. Pour $m=-p$ avec $p\in \mathbb{N}$, $R(\theta {)}^m=R(-\theta {)}^p=R(-p\theta )$ : $R(\theta {)}^m=R(m\theta )$ pour tout $m\in \mathbb{Z}$. Contrôle : $R(\frac{\pi }{2})=J$ et $J^4=(-I_2{)}^2=I_2$ — quatre quarts de tour font un tour.

d) Rotation, homothétie et vecteurs de Fresnel. $\Phi (\rho e^{i\phi })=\Phi (\rho )\Phi (e^{i\phi })=\rho R(\phi )$, puisque $\Phi (\rho )=\rho I_2$. L'application $X\mapsto \rho R(\phi )X$ tourne le vecteur d'un angle $\phi$ autour de $O$ puis le multiplie par $\rho$ : c'est la composée de la rotation d'angle $\phi$ et de l'homothétie de rapport $\rho$, de centre $O$ — l'ordre est indifférent, $\rho I_2$ commutant avec $R(\phi )$ —, exactement comme $w\mapsto zw$ dans le plan complexe. En régime sinusoïdal, multiplier $\underline{S}$ par $\underline{Z}$, c'est multiplier le vecteur de Fresnel par $|\underline{Z}|R(\phi )$ : il tourne de $\phi$ et sa longueur est multipliée par $|\underline{Z}|$. Pour une bobine idéale, $\underline{Z}=iL\omega =L\omega e^{i\pi /2}$ : la tension est l'intensité tournée d'un quart de tour et dilatée de $L\omega$, en quadrature avance. (Les électriciens notent $j$ ce que les mathématiciens notent $i$.)

Le point délicat. Ce n'est pas une analogie mais une construction : dans $\mathcal{E}$, tout se vérifie à la main, et le nombre $i$ n'est qu'un quart de tour. Mais « l'inverse est la transposée » est propre aux rotations : c'est faux pour $\rho R(\phi )$ dès que $\rho \ne 1$.

Ce que l'exercice installe. Les formules d'addition, le produit des complexes et la composition des rotations sont une seule chose. Le chapitre des matrices et applications linéaires fera de $R(\theta )$ la matrice d'une rotation ; en sciences industrielles, $R(\theta )$ donne les coordonnées d'un vecteur tourné d'un angle $\theta$ autour d'un axe, le calcul qui accompagne chaque liaison pivot ; en électrocinétique, c'est la justification des constructions de Fresnel.