Puissances par le binôme

Écrivons $A=I_3+N$ avec $N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. On calcule :

$$N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^3=0:$$

$N$ est nilpotente. Comme $I_3$ et $N$ commutent, le binôme s'applique et s'arrête au rang $2$ :

$$A^m=I_3+mN+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2}\right)N^2=\left(\begin{array}{ccc}1& m& \frac{m(m-1)}{2}\\ 0& 1& m\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

(Contrôle : $m=1$ redonne $A$, et $m=2$ se vérifie par produit direct. La formule vaut même pour $m\in \mathbb{Z}$, avec $A^{-1}$ donnée par $m=-1$.)