Symétrique plus antisymétrique, et le champ des vitesses d'un solide

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 7 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · A. Opérations sur les matrices

Énoncé

On note $S_{n} (K)$ et $A_{n} (K)$ les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques de $M_{n} (K)$ .

a) Montrer que toute matrice $A \in M_{n} (K)$ s'écrit de façon unique $A = S + T$ , avec $S$ symétrique et $T$ antisymétrique.

b) Soient $A$ et $B$ symétriques. Montrer que $A B$ est symétrique si et seulement si $A B = B A$ .

c) Soit $A \in M_{n} (R)$ antisymétrique. Montrer que $X^{⊤} A X = 0$ pour toute colonne $X \in M_{n, 1} (R)$ . En déduire que, pour $A$ quelconque, $X^{⊤} A X = X^{⊤} S X$ , où $S$ est la partie symétrique de $A$ .

d) Pour $ω = ω_{1} ω_{2} ω_{3}$ et $X = x_{1} x_{2} x_{3}$ , on admet que, dans un repère orthonormé direct, le produit vectoriel $ω \land X$ a pour coordonnées $(ω_{2} x_{3} - ω_{3} x_{2}, ω_{3} x_{1} - ω_{1} x_{3}, ω_{1} x_{2} - ω_{2} x_{1})$ , et que le produit scalaire vaut $X \cdot Y = X^{⊤} Y$ (ils seront étudiés géométriquement au chapitre de géométrie). Soit $Ω = 0 ω_{3} - ω_{2} - ω_{3} 0 ω_{1} ω_{2} - ω_{1} 0$ . Vérifier que $Ω X$ est la colonne des coordonnées de $ω \land X$ , que toute matrice antisymétrique de $M_{3} (R)$ est de cette forme, et en déduire que $X \cdot (ω \land X) = 0$ . Interpréter : la puissance de la force magnétique $q v \land B$ subie par une particule de charge $q$ ; la vitesse $ω \land O M$ d'un point $M$ d'un solide en rotation autour d'un axe passant par $O$ .

e) Dans un solide en mouvement, les vitesses de deux points $A$ et $B$ sont liées par $V_{B} = V_{A} + ω \land A B$ , où $ω$ est le vecteur taux de rotation du solide. On note $X$ la colonne des coordonnées de $A B$ , et $V_{A}$ , $V_{B}$ celles des vitesses. Montrer que $X^{⊤} V_{B} = X^{⊤} V_{A}$ : les vitesses de deux points d'un solide ont la même projection sur la droite qui les joint (équiprojectivité). Pourquoi est-ce la traduction cinématique de « la distance $A B$ ne varie pas » ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les opérations sur les transposées — linéarité, $(A^{⊤})^{⊤} = A$ , $(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$ — et la bilinéarité du produit. Pour le a), la stratégie est une analyse-synthèse : les morceaux déduits d'une décomposition supposée donnent l'unicité, leur vérification donne l'existence.

a) La décomposition. Analyse. Si $A = S + T$ avec $S^{⊤} = S$ et $T^{⊤} = - T$ , alors en transposant $A^{⊤} = S - T$ ; en additionnant puis en soustrayant, $S = \frac{A + A ^{⊤}}{2}, T = \frac{A - A ^{⊤}}{2} .$ Les morceaux sont imposés : la décomposition est unique. Synthèse. Avec ces formules, $S + T = A$ , $S^{⊤} = \frac{A ^{⊤} + A}{2} = S$ et $T^{⊤} = \frac{A ^{⊤} - A}{2} = - T$ : elle existe. Contrôle : $1472583610 = 1353575710 + 012 - 1 01 - 2 - 1 0 .$

b) Produit de deux symétriques. $(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤} = B A$ : $A B$ est symétrique si et seulement si $B A = A B$ . Ainsi $S_{n} (K)$ n'est pas stable par produit : $(0110) (1000) = (0100)$ n'est pas symétrique.

c) Une antisymétrique ne « voit » pas $X$ . $s = X^{⊤} A X$ est une matrice $1 \times 1$ , donc $s = s^{⊤}$ ; or $s^{⊤} = X^{⊤} A^{⊤} X = X^{⊤} (- A) X = - s$ . Donc $s = - s$ et $X^{⊤} A X = 0$ . Pour $A$ quelconque, $A = S + T$ et, par bilinéarité, $X^{⊤} A X = X^{⊤} S X + X^{⊤} T X = X^{⊤} S X$ : la quantité $\sum_{i, j} a_{i, j} x_{i} x_{j}$ ne dépend que de la partie symétrique de $A$ .

d) Le produit vectoriel est antisymétrique. Le calcul donne $Ω X = 0 ω_{3} - ω_{2} - ω_{3} 0 ω_{1} ω_{2} - ω_{1} 0 x_{1} x_{2} x_{3} = ω_{2} x_{3} - ω_{3} x_{2} ω_{3} x_{1} - ω_{1} x_{3} ω_{1} x_{2} - ω_{2} x_{1},$ les coordonnées de $ω \land X$ . Réciproquement, une antisymétrique $3 \times 3$ a une diagonale nulle ( $a_{i, i} = - a_{i, i}$ ) et vérifie $a_{j, i} = - a_{i, j}$ : déterminée par $a_{2, 1}$ , $a_{1, 3}$ , $a_{3, 2}$ , c'est la matrice $Ω$ associée à $ω = (a_{3, 2}, a_{1, 3}, a_{2, 1})^{⊤}$ . Les antisymétriques de $M_{3} (R)$ sont exactement les matrices des applications $X \mapsto ω \land X$ , et par le c), $X \cdot (ω \land X) = X^{⊤} Ω X = 0$ . En physique : $v \land B = (- B) \land v$ est de la forme $Ω v$ , donc la puissance $q v \cdot (v \land B)$ est nulle : la force magnétique ne travaille pas, elle courbe la trajectoire sans changer l'énergie cinétique. Et la vitesse $ω \land O M$ est orthogonale à $O M$ , donc la dérivée de $O M^{2}$ , égale à $2 O M \cdot v$ , est nulle : la distance $O M$ est constante.

e) L'équiprojectivité. En colonnes, la relation entre les vitesses s'écrit $V_{B} = V_{A} + Ω X$ , où $Ω$ est la matrice antisymétrique associée à $ω$ par le d). Multiplions à gauche par la ligne $X^{⊤}$ : $X^{⊤} V_{B} - X^{⊤} V_{A} = X^{⊤} Ω X = 0,$ par le c), $Ω$ étant antisymétrique. Les vitesses de $A$ et de $B$ ont la même composante sur l'axe $(A B)$ : c'est l'équiprojectivité du champ des vitesses d'un solide. Pourquoi c'est la rigidité : $A B$ a pour dérivée $V_{B} - V_{A}$ ; par la dérivée d'un produit, $\frac{d}{d t} A B^{2} = \frac{d}{d t} (X^{⊤} X) = 2 X^{⊤} (V_{B} - V_{A})$ . Dire que les deux vitesses ont même projection sur $(A B)$ , c'est dire que cette dérivée est nulle, donc que la distance $A B$ ne varie pas : l'équiprojectivité est la forme cinématique de l'indéformabilité. Contrôle : pour une rotation autour de l'axe $(O z)$ , $ω = (0, 0, ω_{3})$ et $V_{A} = 0$ en $A = O$ ; pour $A B = (1, 0, 0)$ , $V_{B} = ω_{3} (0, 1, 0)$ , orthogonale à $A B$ , et les deux projections sur $(A B)$ sont nulles.

Le point délicat. La division par $2$ , licite dans $R$ comme dans $C$ , fait le a) ; « une matrice $1 \times 1$ est sa propre transposée » fait le c), en changeant une identité entre matrices en identité entre nombres ; et c'est le c) qui fait, seul, le d) et le e).

Ce que l'exercice installe. La première décomposition unique en deux familles de l'année : le chapitre des espaces vectoriels dira que $S_{n} (K)$ et $A_{n} (K)$ sont supplémentaires. Et une seule propriété, $X^{⊤} Ω X = 0$ pour $Ω$ antisymétrique, porte trois résultats de physique et de sciences industrielles : la force magnétique ne travaille pas, la vitesse d'un point d'un solide en rotation autour d'un axe fixe est orthogonale au rayon, et le champ des vitesses d'un solide est équiprojectif — la propriété sur laquelle repose le torseur cinématique du cours de sciences industrielles.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.