Transposée et symétrie

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PTSI), chapitre 7 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · A. Opérations sur les matrices

Énoncé

Soit $A \in M_{n, p} (K)$ quelconque. Montrer que $A^{⊤} A$ et $A A^{⊤}$ sont des matrices carrées symétriques.

Corrigé

$A^{⊤} A \in M_{p} (K)$ est carrée, et par les règles sur les transposées :

$(A^{⊤} A)^{⊤} = A^{⊤} (A^{⊤})^{⊤} = A^{⊤} A .$

De même $(A A^{⊤})^{⊤} = A A^{⊤} \in M_{n} (K)$ . (Ces matrices, omniprésentes en statistiques et en analyse numérique — moindres carrés —, sont toujours symétriques.)

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