Un polynôme annulateur donne l'inverse et les puissances

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 7 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · D. Calcul dans $M_{n} (K)$ et inversibles

Énoncé

a) Soit $A \in M_{n} (K)$ telle que $A^{2} - 3 A + 2 I_{n} = 0$ . Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{- 1}$ en fonction de $A$ . Vérifier sur $A = (1012)$ .

b) Montrer que pour tout $m \in N$ , $A^{m} = α_{m} A + β_{m} I_{n}$ , avec $α_{m + 1} = 3 α_{m} + β_{m}$ et $β_{m + 1} = - 2 α_{m}$ , puis que $α_{m} = 2^{m} - 1$ et $β_{m} = 2 - 2^{m}$ .

c) Soit $n \geq 2$ et $J \in M_{n} (R)$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$ . Montrer que $J^{2} = n J$ ; $J$ est-elle inversible ? Montrer que $M = a I_{n} + b J$ est inversible si et seulement si $a \neq = 0$ et $a + nb \neq = 0$ , avec alors $M^{- 1} = \frac{1}{a} (I_{n} - \frac{b}{a + nb} J)$ , et que $M^{m} = a^{m} I_{n} + \frac{( a + nb ) ^{m} - a ^{m}}{n} J$ pour tout $m \geq 1$ .

d) Si $A$ est inversible et vérifie $A^{2} = A$ , que vaut $A$ ? Quelle propriété du polynôme annulateur a fait marcher le a) ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le calcul dans $M_{n} (K)$ , où une matrice commute avec ses puissances et avec $I_{n}$ ; la formule du binôme pour deux matrices qui commutent ; les suites récurrentes linéaires d'ordre $2$ (chapitre des suites). La stratégie : une relation polynomiale vérifiée par $A$ — un polynôme annulateur — permet d'isoler $I_{n}$ et de remplacer $A^{2}$ partout.

a) L'inverse, sans pivot. La relation s'écrit $A (A - 3 I_{n}) = - 2 I_{n}$ , soit $A \cdot \frac{1}{2} (3 I_{n} - A) = I_{n}$ , et de même dans l'autre ordre, $A$ commutant avec $3 I_{n} - A$ : $A^{- 1} = \frac{1}{2} (3 I_{n} - A)$ . Sur l'exemple, $A^{2} = (1034) = 3 A - 2 I_{2}$ , et $A^{- 1} = \frac{1}{2} (20 - 1 1)$ , ce que confirme la formule $2 \times 2$ du cours avec $a d - b c = 2$ .

b) Toutes les puissances. Par récurrence : $A^{0} = I_{n}$ ( $α_{0} = 0$ , $β_{0} = 1$ ), et si $A^{m} = α_{m} A + β_{m} I_{n}$ , en remplaçant $A^{2}$ par $3 A - 2 I_{n}$ , $A^{m + 1} = α_{m} A^{2} + β_{m} A = (3 α_{m} + β_{m}) A - 2 α_{m} I_{n} .$ Trouver les formules : $α_{m + 2} = 3 α_{m + 1} - 2 α_{m}$ , suite récurrente linéaire d'ordre $2$ dont l'équation caractéristique, $r^{2} - 3 r + 2 = 0$ , est le polynôme annulateur lui-même, de racines $1$ et $2$ ; donc $α_{m} = λ + μ 2^{m}$ , et $α_{0} = 0$ , $α_{1} = 1$ donnent $α_{m} = 2^{m} - 1$ , puis $β_{m} = - 2 α_{m - 1} = 2 - 2^{m}$ . Les vérifier : $3 (2^{m} - 1) + (2 - 2^{m}) = 2^{m + 1} - 1$ et $- 2 (2^{m} - 1) = 2 - 2^{m + 1}$ . Donc $A^{m} = (2^{m} - 1) A + (2 - 2^{m}) I_{n}$ ; sur l'exemple, $A^{m}$ a pour lignes $(1, 2^{m} - 1)$ et $(0, 2^{m})$ , et pour $m = - 1$ la formule redonne $\frac{1}{2} (3 I_{n} - A)$ .

c) La matrice de uns. Chaque coefficient de $J^{2}$ est une somme de $n$ produits $1 \times 1$ : $J^{2} = n J$ . Chaque ligne de $J$ fait la somme des coordonnées, donc $J (e_{1} - e_{2}) = 0$ avec $e_{1} - e_{2} \neq = 0$ : $J$ n'est pas inversible, sinon $e_{1} - e_{2} = J^{- 1} J (e_{1} - e_{2}) = 0$ . Deux colonnes révélatrices : avec $U$ la colonne de uns, $J U = n U$ , d'où $M U = (a + nb) U, M (e_{1} - e_{2}) = a (e_{1} - e_{2}) .$ Nécessité : si $a + nb = 0$ , $M U = 0$ ; si $a = 0$ , $M (e_{1} - e_{2}) = 0$ ; dans les deux cas $M$ n'est pas inversible. Suffisance : si $a \neq = 0$ et $a + nb \neq = 0$ , alors, comme $J^{2} = n J$ , $(a I_{n} + b J) (I_{n} - \frac{b}{a + nb} J) = a I_{n} + (b - \frac{ab + n b ^{2}}{a + nb}) J = a I_{n} + (b - b) J = a I_{n},$ et tout commutant ici, $M$ est inversible, d'inverse $\frac{1}{a} (I_{n} - \frac{b}{a + nb} J)$ . Contrôle : pour $n = 3$ , $a = 2$ , $b = 1$ , $M^{- 1}$ a $\frac{2}{5}$ sur la diagonale et $- \frac{1}{10}$ ailleurs, et la ligne $(3, 1, 1)$ de $M$ contre la première colonne de $M^{- 1}$ donne $\frac{6}{5} - \frac{2}{10} = 1$ . Les puissances : $I_{n}$ et $J$ commutent, et $J^{k} = n^{k - 1} J$ pour $k \geq 1$ (par récurrence, $J^{k + 1} = n^{k - 1} J^{2} = n^{k} J$ ) ; le binôme, avec le coefficient « $k$ parmi $m$ », donne $M^{m} = a^{m} I_{n} + k = 1 \sum m (k m) a^{m - k} b^{k} n^{k - 1} J = a^{m} I_{n} + \frac{( a + nb ) ^{m} - a ^{m}}{n} J,$ la somme étant, au facteur $\frac{1}{n}$ près, le développement de $(a + nb)^{m}$ privé de son terme $k = 0$ .

d) Ce qui fait marcher la méthode. Si $A$ est inversible et $A^{2} = A$ , multiplier par $A^{- 1}$ donne $A = I_{n}$ : une matrice égale à son carré et différente de $I_{n}$ , comme la projection $P$ de l'exercice 1, n'est jamais inversible. Ce qui a fait marcher le a), c'est le terme constant non nul de $X^{2} - 3 X + 2$ : $2 I_{n}$ passe de l'autre côté, et $A$ se met en facteur du reste. En général, si $A^{p} + c_{p - 1} A^{p - 1} + \dots + c_{1} A + c_{0} I_{n} = 0$ avec $c_{0} \neq = 0$ , alors $A^{- 1} = - \frac{1}{c _{0}} (A^{p - 1} + c_{p - 1} A^{p - 2} + \dots + c_{1} I_{n})$ .

Le point délicat. Au c), le binôme n'est légitime que parce que $I_{n}$ et $J$ commutent, et $J^{k} = n^{k - 1} J$ est faux pour $k = 0$ : le terme $a^{m} I_{n}$ se sort de la somme à la main.

Ce que l'exercice installe. Un polynôme annulateur à terme constant non nul livre l'inverse et ramène toute puissance à deux termes. Le chapitre des polynômes dira pourquoi : $A^{m}$ est le reste de la division euclidienne de $X^{m}$ par $X^{2} - 3 X + 2$ , évalué en $A$ . Et les colonnes $U$ et $e_{1} - e_{2}$ , que $M$ multiplie par un nombre, annoncent la réduction de deuxième année.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.