Un système à paramètre

Stratégie : le pivot, en notant à chaque étape la division que l'on s'autorise. Chaque division interdite est un cas de la discussion.

1) Écriture matricielle. Le système s'écrit $AX=B$ avec

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& a& 1\\ a& 1& 1\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

2) Deux opérations élémentaires. Retranchons la première ligne aux deux autres :

• $L_2\leftarrow L_2-L_1$ donne $(a-1)y+(1-a)z=0$, soit $(a-1)(y-z)=0$ ;
• $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donne $(a-1)x+(1-a)z=0$, soit $(a-1)(x-z)=0$.

⚠️ C'est ici que la discussion naît. Diviser par $a-1$ n'est licite que si $a\ne 1$ : la valeur $a=1$ se sépare du reste dès la deuxième ligne.

3) Premier cas : $a\ne 1$. On peut diviser : $y=z$ et $x=z$, donc $x=y=z$. En reportant dans la première équation :

$$(2+a)x=1.$$

Nouvelle division, nouveau cas.

• Si de plus $a\ne -2$ : le système a une solution unique, $x=y=z=\frac{1}{a+2}$.
• Si $a=-2$ : l'équation devient $0=1$ : le système est incompatible, il n'a aucune solution.

Une preuve en une ligne de l'incompatibilité pour $a=-2$ : en additionnant les trois équations d'origine, on obtient $(2+a)(x+y+z)=3$ ; pour $a=-2$ le membre de gauche est nul et le membre de droite vaut $3$.

4) Second cas : $a=1$. Les trois équations deviennent toutes $x+y+z=1$ : le système se réduit à une seule équation. Il y a deux inconnues libres, et l'ensemble des solutions est le plan

$$\left\{\left(\begin{array}{c}1-s-t\\ s\\ t\end{array}\right):(s,t)\in {\mathbb{R}}^2\right\}.$$

Récapitulation. Pour $a\notin \{1,-2\}$ : une solution unique, $\left(\frac{1}{a+2},\frac{1}{a+2},\frac{1}{a+2}\right)$. Pour $a=1$ : une infinité de solutions à deux paramètres. Pour $a=-2$ : aucune solution.

Contrôles numériques. Pour $a=0$ : la solution annoncée est $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, et la première équation donne $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=1$. ✔ Pour $a=3$ : la solution est $\left(\frac{1}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{5}\right)$, et $\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{3}{5}=1$. ✔ Pour $a=1$ : le triplet $(1,0,0)$ convient, ainsi que $(0,1,0)$ et $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$ — trois solutions distinctes, ce qui confirme qu'il y en a une infinité. ✔

Ce que l'exercice installe. Discuter un système à paramètre, ce n'est pas énumérer des cas au hasard : c'est suivre le pivot et relever chaque division. Les valeurs interdites qu'on rencontre en chemin sont la discussion, et l'on retrouve les trois seuls comportements possibles d'un système linéaire : solution unique, aucune solution, ou une infinité.