À quelle vitesse $n\sin (1/n)$ tend vers $1$

Stratégie : composer un développement limité avec une suite qui tend vers zéro. C'est licite, et même la seule chose licite : $\frac{1}{n}\to 0$, on peut donc substituer $h=\frac{1}{n}$ dans le développement de $\sin$ en $0$.

Le développement. De $\sin h=h-\frac{h^3}{6}+o\left(h^3\right)$ on tire, en divisant par $h$ : $$\frac{\sin h}{h}=1-\frac{h^2}{6}+o\left(h^2\right).$$ Or $n\sin \frac{1}{n}=\frac{\sin h}{h}$ avec $h=\frac{1}{n}$. Donc $$u_n=n\sin \frac{1}{n}-1=-\frac{1}{6n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right),$$ $$\boxed{u_n⟶0\text{et}{u}_n\sim -\frac{1}{6n^2}.}$$

⚠️ Le signe fait partie du résultat. L'équivalent est négatif : la suite $n\sin \frac{1}{n}$ approche $1$ par en dessous. Ce n'est pas un détail de calcul, c'est la traduction asymptotique de l'inégalité $\sin h<h$ pour $h>0$, et c'est une propriété que l'équivalence conserve — deux fonctions équivalentes ont même signe au voisinage du point.

Un mot sur l'ordre choisi. Le développement de $\sin$ à l'ordre $1$ aurait donné $u_n=o(1)$, c'est-à-dire la limite et rien d'autre. Il fallait l'ordre $3$ — donc le premier terme correctif — pour obtenir une vitesse. Comme pour $\ln (\cos x)$ ou $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, c'est l'annulation du terme dominant qui impose de pousser.

Contrôle numérique. Pour $n=10$ : $10\sin (0,1)-1=-0,00166583$, à comparer à $-\frac{1}{600}=-0,00166667$. Quatre décimales concordent, et le signe est bien négatif.

Ce que l'exercice installe. Composer un développement limité avec une suite tendant vers $0$ est autorisé sans réserve — contrairement à la composition par l'exponentielle. Et l'équivalent obtenu se lit comme une vitesse : ici $\frac{1}{n^2}$, c'est-à-dire que doubler $n$ divise l'erreur par quatre.