Asymptotes : la variable $1/x$, et les deux côtés

La stratégie. Les développements usuels sont tous calibrés en $0$ ; il n'en existe pas « en l'infini ». En $\pm \infty$, la variable qui tend vers $0$ est $u=\frac{1}{x}$ : on développe en $u=0$, puis on multiplie par la puissance de $x$ qui figure devant. On cherche une écriture $f(x)=ax+b+\frac{c}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$, comme le prévoit le cours : la partie $ax+b$ donne l'asymptote, le terme $\frac{c}{x}$ la position — et son signe dépend de celui de $x$.

a) $f(x)=x{e}^{1/x}$. Avec $u=\frac{1}{x}\to 0$ (en $+\infty$ comme en $-\infty$) et $e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)$ : $$f(x)=x\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=x+1+\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right).$$ Il fallait l'exponentielle à l'ordre $2$ : la multiplication par $x$ remonte tout d'un cran, et l'ordre $1$ n'aurait donné que $x+1+o(1)$ — l'asymptote, pas la position. Ainsi $f(x)-(x+1)\to 0$ : la droite $y=x+1$ est asymptote des deux côtés. Et $f(x)-(x+1)\sim \frac{1}{2x}$, qui a le signe de $x$ : la courbe est au-dessus en $+\infty$, au-dessous en $-\infty$. La même droite, deux positions. Contrôle : $f(10)-11=0,0517$ et $f(-10)-(-9)=-0,0484$.

b) $g(x)=\sqrt{x^2+x+1}$. On factorise le terme prépondérant, en prenant garde que $\sqrt{x^2}=|x|$ : $g(x)=|x|\sqrt{1+u+u^2}$ avec $u=\frac{1}{x}$. Avec $w=u+u^2\to 0$, $\sqrt{1+w}=1+\frac{w}{2}-\frac{w^2}{8}+o(w^2)$ et $w^2=u^2+o(u^2)$ : $$\sqrt{1+u+u^2}=1+\frac{u}{2}+\frac{u^2}{2}-\frac{u^2}{8}+o(u^2)=1+\frac{u}{2}+\frac{3u^2}{8}+o(u^2).$$ En $+\infty$, $|x|=x$ : $g(x)=x+\frac{1}{2}+\frac{3}{8x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$ ; asymptote $y=x+\frac{1}{2}$, courbe au-dessus puisque $\frac{3}{8x}>0$.

En $-\infty$, $|x|=-x$ : $g(x)=-x-\frac{1}{2}-\frac{3}{8x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$ ; asymptote $y=-x-\frac{1}{2}$, et l'écart $-\frac{3}{8x}$ est positif puisque $x<0$ : courbe encore au-dessus.

L'asymptote change parce que la racine d'un carré est une valeur absolue : la fonction se comporte comme $|x|$, de pente $1$ à droite et $-1$ à gauche. Contrôle : $g(10)-10,5=0,0357$ et $g(-10)-9,5=0,0394$, proches de $\frac{3}{80}=0,0375$.

c) $k(x)=x^2\mathrm{Arctan}\frac{1}{x}$. Avec $u=\frac{1}{x}\to 0$ et $\mathrm{Arctan}u=u-\frac{u^3}{3}+o(u^3)$ : $$k(x)=x^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{3x^3}+o\left(\frac{1}{x^3}\right)\right)=x-\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right).$$ Ici le facteur $x^2$ fait remonter chaque terme de deux ordres : il fallait l'arc tangente à l'ordre $3$ ; arrêté à l'ordre $1$, le développement n'aurait donné que $x+o(x)$, qui ne dit même pas l'asymptote. On lit que $k(x)-x\to 0$ : la droite $y=x$ est asymptote en $+\infty$ et en $-\infty$, une seule et même droite. La position est donnée par le signe de $-\frac{1}{3x}$ : la courbe est au-dessous en $+\infty$, au-dessus en $-\infty$.

Le contrôle par la symétrie. $\mathrm{Arctan}$ est impaire et $x\mapsto x^2$ est paire : $k$ est impaire, son graphe est symétrique par rapport à l'origine, et cette symétrie échange le dessus et le dessous — ce que le calcul annonce. Trouver la même position des deux côtés aurait signalé une erreur. Contrôle numérique : $k(10)-10=-0,03313$ et $k(-10)+10=+0,03313$, pour $\mp \frac{1}{30}\approx \mp 0,0333$.

Le point délicat. La position se lit sur le signe du terme en $\frac{1}{x}$, qui dépend du signe de $x$ : conclure en $+\infty$ puis recopier en $-\infty$ est la faute. Et au b), écrire $\sqrt{x^2}=x$ pour $x$ négatif donnerait en $-\infty$ une asymptote de pente $1$, fausse.

Ce que l'exercice installe. Les branches infinies se traitent en $u=\frac{1}{x}$, avec autant d'ordres de plus que la puissance de $x$ qui multiplie ; une racine paire cache une valeur absolue ; et la position par rapport à l'asymptote est une propriété de chaque branche, pas de la courbe. Une asymptote peut servir aux deux branches avec des positions opposées (a et c), ou changer d'une branche à l'autre (b).